ベールのカテゴリー定理(1)

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\lrto}{\leftrightarrow} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\} } \)

1. まず, 位相空間 \( X \) の部分集合 \( A \) に対して, \[ \text{\( A \) が稠密} \equ \olA = X \equ \Int (A^c) = \emset \] であることを注意しておく.

2. 命題.

位相空間に対する以下の条件は同値である.

(i) 稠密開集合の可算共通部分は常に稠密である.
(ii) 閉疎集合の可算和は常に内部をもたない.
(iii) 疎集合の可算和は常に内部をもたない.

3. (i) \( \equ \) (ii) の証明:

\( X \) を位相空間とするとき, 補集合をとる全単射 \[ 2^X \to 2^X, \quad A \mto A^c \] のもとで, \begin{align} \brc{\text{稠密集合}} \quad &\lrto \quad \brc{\text{内部が空である集合}}, \\[0.8em] \brc{\text{稠密開集合の可算共通部分}} \quad &\lrto \quad \brc{\text{閉疎集合の可算和}} \end{align} という対応が成り立つ. したがって, 左辺に包含関係があることと, 右辺に包含関係があることとは同値である. //

4. (ii) \( \equ \) (iii) の証明:

(iii) \( \imp \) (ii) は自明. (ii) \( \imp \) (iii) を示す. \( A_n \) \( (n \ge 1) \) を疎集合とするとき, \[ \Cup_{n=1}^{\oo} A_n \ss \Cup_{n=1}^{\oo} \olA_n \] より, \[ \Int \prn{\Cup_{n=1}^{\oo} A_n} \ss \Int \prn{\Cup_{n=1}^{\oo} \olA_n} = \emset \] である. //

5. この命題の条件をみたす位相空間ベール空間という.

6. 命題.

位相空間に対する以下の条件は同値である.

(i) 稠密開集合の可算共通部分は常に空でない.
(ii) 閉疎集合の可算和として書けない.
(iii) 疎集合の可算和として書けない.

7. (i) \( \equ \) (ii) の証明:

\( X \) を位相空間とするとき, 補集合をとる全単射 \[ 2^X \to 2^X, \quad A \mto A^c \] のもとで, \[ \brc{\text{稠密開集合の可算共通部分}} \quad \lrto \quad \brc{\text{閉疎集合の可算和}} \] という対応が成り立つ. したがって, 左辺に \( \emset \) が属さないことと, 右辺に \( X \) が属さないこととは同値である. //

8. (ii) \( \equ \) (iii) の証明:

(iii) \( \imp \) (ii) は自明. (ii) \( \imp \) (iii) を示す. \( X \) が疎集合の可算和として書けるならば, 閉疎集合の可算和としても書けることを示せばよい. \( X \) が疎集合の可算和として \[ X = \Cup_{n=1}^{\oo} A_n \] と書けたとする. このとき, \[ X = \Cup_{n=1}^{\oo} \olA_n \] であるが, 右辺は閉疎集合の可算和である. //