正則空間

\( \newcommand{\olU}{\overline{U}} \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\equ}{\Leftrightarrow} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\ssne}{\subsetneq} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\uto}[1]{\overset{#1}{\longrightarrow}} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\} } \)

1. 位相空間 \( X \) が正則であるとは: \( X \) が次の2つの条件をみたすこと.

  1. 1点は閉集合.
  2. 点と閉集合が開集合で分離できる.

    (すなわち, \( x \in X \) と \( x \) を含まない閉集合 \( F \) に対して, 互いに交わらない開集合 \( U \) と \( V \) が存在し, \[ x \in U, \quad F \ss V \] となる.)

2. 条件1は, 正則空間のクラスがハウスドルフ空間のクラスを含むようにするためである.

3. 位相空間 \( X \) に対して, 次の条件は同値である.

(i) \( X \) は正則.

(ii) 任意の \( x \in X \) とその任意の開近傍 \( G \) に対して, \( x \) の開近傍 \( U \) で, \[ \olU \ss G \] となるものが存在する.

4. 証明: まず, \( X \) が正則であることと次の条件は同値である.

任意の \( x \in X \) とそれを含む任意の開集合 \( G \) に対して, \begin{gather} x \in U, \quad G^c \ss V, \quad U \cap V = \emset \\[0.8em] (\equ x \in U \ss V^c \ss G) \end{gather} をみたす開集合 \( U \), \( V \) が存在する.

\( x \in X \) とその開近傍 \( G \) を固定するとき, \begin{align} &\text{\( x \in U \ss V^c \ss G \) となる開集合 \( U \), \( V \) が存在} \\[0.8em] \equ \quad &\text{\( x \in U \ss C \ss G \) となる開集合 \( U \) と閉集合 \( C \) が存在} \\[0.8em] \equ \quad &\text{\( x \in U \), \( \, \olU \ss G \) となる開集合 \( U \) が存在.} \end{align}

したがって, (i) と (ii) は同値である. //

5. 距離空間は上の命題の条件 (ii) をみたすので正則である.