1. 以下, ベクトル空間はすべて, ある固定された体 \( K \) 上のものである.
2. 用語と記号:
\(\color{red}{ \diamondsuit } \, \) 「直線」とは, 1次元部分空間のことである.
\(\color{red}{ \diamondsuit } \, \) \( n \) 次元ベクトル空間 \( V \) の \( n+1 \) 本の直線が「一般の位置にある」とは, その中のどの \( n \) 本も \( V \) を生成することである.
\(\color{red}{ \diamondsuit } \, \) ベクトル空間 \( V \) の直線全体を \( \PP(V) \) で表す.
\(\color{red}{ \diamondsuit } \, \) ベクトル空間の間の単射線形写像 \( F \col V \to W \) は, 写像 \[ \PP(V) \to \PP(W), \quad L \mto F(L) \] を誘導する. \( \PP(V) \) から \( \PP(W) \) への写像のうち, このようにして得られるものを, 射影線形写像という.
3. 我々が示したかった命題は次である.
4. 証明: \begin{align} \scF &:= \brc{\text{単射線形写像 \( V \to W \)} }, \\[0.8em] \scf &:= \brc{\text{射影線形写像 \( \PP(V) \to \PP(W) \)} } \end{align} と置く.
写像 \[ \PP \col \scF \to \scf, \quad F \mto \text{\( F \) が誘導する射影線形写像} \] は全射である.
\begin{align} \scF' &:= \set{ F \in \scF }{ F(V_i) = W_i \,\,\, (1 \le i \le n+2)}, \\[0.8em] \scf' &:= \set{ f \in \scf }{ f(V_i) = W_i \,\,\, (1 \le i \le n+2)} \end{align} と置く.
前回示したことから, \[ \scF' = \set{ \text{線形写像 \( F \col V \to W \)} }{F(V_i) \ss W_i \,\,\, (1 \le i \le n+2)} \sm \zrset \] であることが分かる.
この等式と前々回示したことから, 次の事実が従う:
「\( \scF' \) の任意の2要素はゼロでないスカラー倍だけ異なる.」
これから導かれる次の事実が, 証明の要点である: \( \PP(\scF') \) は1点集合.
1. さて, \( \scf' \) が1点集合であることを示したい.
2. これは, 次の2つの事実から従う: \begin{align} &\PP(\scF') = \scf' , \\[0.8em] &\text{\( \PP(\scF') \) は1点集合}. \end{align} 後者は示されているので, 前者を示せばよい.
3. そのためには, \( \scF' = \PP^{-1}(\scf') \) を示せばよい(\( \PP \) が全射であるから).
4. そのためには, \( F \in \scF \) に対して, \[ F \in \scF' \equ \PP(F) \in \scf' \] であることを示せばよい.
5. これは, \begin{align} F \in \scF' &\equ F(V_i) = W_i \quad (1 \le \all i \le n+2), \\[0.8em] \PP(F) \in \scf' &\equ \bigl( \PP(F) \bigr) (V_i) = W_i \quad (1 \le \all i \le n+2) \end{align} より分かる(\( \bigl( \PP(F) \bigr) (V_i) = F(V_i) \) であるから). //