1.
\( X \) を位相空間とする. \( A \) を \( X \) の部分集合とし, \( U \) を \( X \) の開部分集合とする.
\( A \) が \( U \) において稠密であるとは, \( A \cap U \) が \( U \) において稠密であることである.
次のことを示したい： \[ \text{\( A \) が \( U \) において稠密} \equ U \ss \olA. \]
2.
注意： \( U \) が開集合という仮定は必要である. 例えば, \begin{align} A &:= \RR \sm \zrset, \\[0.8em] U &:= \zrset \end{align} と置くとき, \[ U \ss \olA = \RR \] であるが, \[ A \cap U = \emset \] は \( U \) において稠密でなく, したがって, \( A \) は \( U \) において稠密でない.
3.
さて, 証明であるが, まず, 次のことに注意する： ある集合の部分集合 \( R \), \( S \), \( T \) に対して, \[ R \cap S \ss T \equ R \ss T \cup S^c. \]
\( \imp \) は両辺と \( S^c \) の和をとることにより, \( \fol \) は両辺と \( S \) の共通部分をとることにより示される.
4.
証明： \( A \cap U \) が \( U \) で稠密であることは, \[ U \ss \ol{A \cap U} \] であることと同値である（「稠密部分集合」に説明がある）.
したがって, 示すべき命題は, \[ U \ss \ol{A \cap U} \equ U \ss \olA \] である.
\( \imp \) は明らかなので, \( \fol \) を示せばよいが, そのためには, \[ \olA \cap U \ss \ol{A \cap U} \] を示せばよい. 注意しておいたことにより, これは, \[ \olA \ss \ol{A \cap U} \cup U^c \] と同値である.
この右辺は閉集合であるので, \[ A \ss \ol{A \cap U} \cup U^c \] を示せばよいが, これは明らかに成り立っている. //