部分空間の逆像の次元

\( \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\zrset}{\{ 0 \}} \newcommand{\usurj}[1]{\overset{#1}{\twoheadrightarrow}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \)

1. 有限次元ベクトル空間の間の全射線形写像 \[ f \col V \surj W \] を考える.

2. \( \zrset \ss W \) の逆像の次元は, 次元定理 \[ \dim V - \dim (\Ker f) = \dim W \] により分かる.

3. より一般に, 任意の部分空間 \( W' \ss W \) の逆像の次元は, 次の公式により分かる： \[ \dim V - \dim \finv(W') = \dim W - \dim W'. \]

4. 上の公式を示そう. 合成写像 \[ V \usurj{f} W \surj W/W' \] を考えると, 次元定理により, \[ \dim V - \dim \finv(W') = \dim (W/W'). \] 右辺の商空間の次元は, \[ \dim (W/W') = \dim W - \dim W' \] であるので, 示された. //