テイラーの定理(5)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\tol}{\leftarrow} \newcommand{\der}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \)

1. テイラーの定理の誤差部分を剰余項と言いますが, この剰余項を積分で表すこともできます. 以下で見てみましょう.

2. \( n \ge 0 \) とし, 次のような関数の系列を考えます: \begin{align} \der{}{x} \col \quad &f_0 \to f_1 \to f_2 \to \cd \to f_n \to f_{n+1} \\ -\der{}{x} \col \quad &g_0 \tol g_1 \tol g_2 \tol \cd \tol g_n \tol g_{n+1} \end{align} ここに現れている関数 \( f_k \), \( g_k \) はすべて閉区間 \( [a, b] \) 上で連続であるとし, \( f_k \) は \( d/dx \) によって, \( g_k \) は \( -d/dx \) によって矢印の先の関数に写るものとします: \( [a,b] \) 上で, \begin{gather} f_k' = f_{k+1}, \\[0.8em] -g_{k+1}' = g_{k}. \end{gather}

3. \( 0 \le k \le n+1 \) に対して \[ S_k := \int_a^b f_k g_k \, dx \] と置き, 部分積分を用いて, \( 0 \le k \le n \) に対してこれを計算します: \begin{align} S_k &= [f_k (-g_{k+1})]_a^b - \int_a^b f_{k+1} (-g_{k+1}) \, dx \\[0.8em] &= [f_k g_{k+1}]_b^a + \int_a^b f_{k+1} g_{k+1} \, dx \\[0.8em] &= T_k + S_{k+1}. \end{align} ここで, \[ T_k := [f_k g_{k+1}]_b^a \] と置きました. 等式 \[ S_k - S_{k+1} = T_k \quad (0 \le k \le n) \] の両辺で \( 0 \le k \le n \) に対する和をとると, 等式 \[ S_0 - S_{n+1} = \sum_{k=0}^n T_k \] が得られます.

4. 上の計算を用いると, 積分形の剰余項をもつテイラーの定理が証明されます.

\( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする.

(1)閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^{n+1} \) 級関数 \( f \) に対して, \[ f(b) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} + \int_a^b f^{(n+1)}(x) \frac{(b-x)^n}{n!} \, dx \] が成り立つ.
(2)閉区間 \( [b,a] \) 上の \( C^{n+1} \) 級関数 \( f \) に対して, 上と同じ式が成り立つ.

証明: (1)だけ示すが, (2)も同様である.

2つの関数列 \[ \begin{array}{ccccccccccc} f & \! \to \! & f' & \! \to \! & f'' & \! \to \! & \cd & \! \to \! & f^{(n)} & \! \to \! & f^{(n+1)} \\[0.8em] 0 & \! \tol \! & 1 &\! \tol \! & \dfrac{b-x}{1!} &\! \tol \!& \cd & \! \tol \! & \dfrac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!} & \! \tol \! & \dfrac{(b-x)^n}{n!} \end{array} \] は前述の計算の前提条件をみたすので, \[ S_0 - S_{n+1} = \sum_{k=0}^n T_k \] が成り立つ. \begin{align} S_0 &= 0, \\[0.8em] S_{n+1} &= \int_a^b f^{(n+1)}(x) \frac{(b-x)^n}{n!} \, dx \end{align} であり, \begin{align} \sum_{k=0}^n T_k &= \sum_{k=0}^n \left[ f^{(k)}(x) \frac{(b-x)^k}{k!} \right]_b^a \\[0.8em] &= \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} - f(b) \end{align} であるので, 今の場合これは \[ - \int_a^b f^{(n+1)}(x) \frac{(b-x)^n}{n!} \, dx = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} - f(b) \] となる. //