1. 前回, 平均値の定理を用いてテイラーの定理を証明しました.
\( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする.
今回は, ロルの定理を用いた別証明を述べたいと思います.
- （a） \( F(b) = 0 \),
- （b） \( F^{(k)}(a) = 0 \quad (0 \le k \le n) \)
なぜなら：
ロルの定理より, \( (a,b) \) 内に \[ c_1 > c_2 > \cd > c_n > c \] が次々ととれて, \[ F'(c_1) = 0, \quad F''(c_2) = 0, \quad \ld ,\quad F'(c_n) = 0, \quad F^{(n+1)}(c) = 0 \] となる. //
系として次が導かれます.
- （a） \( F(b) = G(b) \),
- （b） \( F^{(k)}(a) = G^{(k)}(a) \quad (0 \le k \le n) \)
3. テイラーの定理の証明の前に次の事実に注意しておきます： 多項式 \[ p(x) = \sum_{k=0}^n \a_k \frac{(x - a)^k}{k!} \] を微分すると, 係数が左へ１つシフトする. すなわち, \[ p'(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \a_{k+1} \frac{(x-a)^k}{k!}. \]
4. さて, テイラーの定理の証明を述べます.
証明：
一次方程式 \[ f(b) - \sum_{k=0}^{n} \, f^{(k)}(a) \, \frac{(b-a)^k}{k!} = X \, \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} \] は \( X \) の係数がゼロでないので, ただ１つの解をもつ. それを \( R \) とする： \[ f(b) - \sum_{k=0}^{n} \, f^{(k)}(a) \, \frac{(b-a)^k}{k!} = R \, \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}. \tag{\(\color{red}{\text{☆}}\)} \] 示したいのは, ある \( c \in (a,b) \) に対して, \[ R = f^{(n+1)}(c) \] となることである.
（☆）の両辺で, \( b \) を \( x \) に置き換えたものを考える： \begin{align} F(x) &:= f(x) - \sum_{k=0}^{n} \, f^{(k)}(a) \, \frac{(x-a)^k}{k!}, \\[0.8em] G(x) &:= R \, \frac{(x - a)^{n+1}}{(n+1)!}. \end{align} このとき, \( F(b) = G(b) \) であり, また, 上の注意により, \[ F^{(i)}(a) = 0 = G^{(i)}(a) \quad (0 \le i \le n) \] である. したがって, これらは補題の系の仮定をみたす. それ故, ある \( c \in (a,b) \) が存在して, \[ F^{(n+1)}(c) = G^{(n+1)}(c), \] すなわち, \[ f^{(n+1)}(c) = R \] となる. //
5. 上の証明では, （☆）の両辺において \( b \) を \( x \) に置き換えました. ここで, \( b \) ではなく \( a \) を \( x \) に置き換えると, 面白いことが起こります. 次回, このことについて述べたいと思います.