平均値の定理の応用（２）：微分積分学の基本定理

1. 平均値の定理の応用として, 微分積分学の基本定理を示します.

\( f \) を \( [a,b] \) 上の連続関数とする. \( [a,b] \) 上の関数 \( F \) が \[ F'(x) = f(x) \quad (\forall x \in [a,b]) \] をみたすとき, \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] である.

この言い方だと,「原始関数が分かれば定積分が計算できる」というニュアンスが出ます.

2. 少し言い方を変えてみます.

\( F \) が \( [a,b] \) 上の \( C^1 \) 級関数であれば, \[ \int_a^b F'(x) \, dx = F(b) - F(a) \] が成り立つ.

この言い方だと,「微分して積分するともとに戻る」というニュアンスが出ます.

3. 微分積分学の基本定理の証明： 任意に \( \e > 0 \) をとる. このとき, ある \( \d > 0 \) が存在して, 幅の最大値が \( \d \) より小さい \( [a,b] \) の任意の分割 \[ a = x_0 < x_1 < \cd < x_n = b, \] およびこの分割の任意の代表点 \[ t_i \in [x_{i-1}, x_i] \quad (i = 1, \ld, n) \] に対して, \[ \ab{ \sum_{i=1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1}) - \int_a^b f(x) \, dx } < \e \] となる.

このような分割を任意に１つ選び固定する. このとき, 平均値の定理よりある \( c_i \in (x_{i-1}, x_i) \) が存在して, \begin{align} F(x_i) - F(x_{i-1}) &= F'(c_i) (x_i - x_{i-1}) \\[1em] &= f(c_i) (x_i - x_{i-1}). \end{align} これより, \begin{align} F(b) - F(a) &= \sum_{i=1}^n \brc{F(x_i) - F(x_{i-1})} \\[1em] &= \sum_{i=1}^n f(c_i) (x_i - x_{i-1}). \end{align}

したがって, \[ \ab{ \brc{F(b) - F(a)} - \int_a^b f(x) \, dx } < \e \] であるが, \( \e > 0 \) は任意であるので, \[ \brc{F(b) - F(a)} - \int_a^b f(x) \, dx = 0 \] である. //