1. 位相空間 \( (X, \scO_X) \) と \( (Y, \scO_Y) \) の間に写像 \[ f \col X \to Y \] が与えられているとする. このとき, \begin{align*} &\text{ \( X \) 上に \( f \) による始位相（Initial topology） \( \scI \), } \\[0.5em] &\text{ \( Y \) 上に \( f \) による終位相（Final topology）\( \scF \) } \end{align*} が存在している.
2. 写像 \[ f \col (X, \scO_X) \to (Y, \scO_Y) \] が連続であることを, 始位相 \( \scI \) を用いて次のように言い換えることができる： \[ \text{ \( f \) が連続} \quad \equ \quad \scI \ss \scO_X. \]
なぜなら：
\( \imp ) \) \( \scI \) は \( f \) を連続にするような \( X \) の最弱の位相であり, \( f \) は \( \scO_X \) に関して連続であるから.
\( \fol ) \) \( f \) は \( X \) 上の始位相に関して連続なので, \( O \in \scO_Y \) に対して, \( \finv(O) \in \scI \ss \scO_X \) であるから.
3. 写像 \[ f \col (X, \scO_X) \to (Y, \scO_Y) \] 連続であることを, 終位相 \( \scF \) を用いて次のように言い換えることができる： \[ \text{ \( f \) が連続} \quad \equ \quad \scO_Y \ss \scF. \]
なぜなら：
\( \imp ) \) \( \scF \) は \( f \) を連続にするような \( X \) の最強の位相であり, \( f \) は \( \scO_Y \) に関して連続であるから.
\( \fol ) \) \( f \) は \( Y \) 上の終位相に関して連続なので, \( O \in \scO_Y \ss \scF \) に対して, \( \finv(O) \in \scO_X \) であるから.
4. 位相空間 \( (X, \scO_X) \) と \( (Y, \scO_Y) \) の間に写像 \[ f \col X \to Y \] が与えられており, 位相 \( \scO_Y \) は \( Y \) の部分集合族 \( \scA \) で生成されているとする. このとき, \[ \forall A \in \scA, \,\, \finv(A) \in \scO_X \quad \imp \quad \text{\( f \) は連続} \] である.
すなわち, 位相空間の間の写像が連続であるかどうかをみるには, 生成開集合の逆像が開集合であるかどうかをみればよい.
5. 証明.
命題の前提条件が成り立つとき, \[ \scA \ss \scF = \set{S \ss Y}{\finv(S) \in \scO_X} \] である. \( \scO_Y \) は \( \scA \) を含む最弱の位相であるので, \[ \scO_Y \ss \scF \] である. □