\(
\newcommand{\scF}{\mathscr{F}}
\newcommand{\scG}{\mathscr{G}}
\newcommand{\finv}{f^{-1}}
\newcommand{\ginv}{g^{-1}}
\newcommand{\tm}{\times}
\newcommand{\ss}{\subset}
\newcommand{\sp}{\supset}
\newcommand{\nin}{\not\in}
\newcommand{\nni}{\not\ni}
\newcommand{\emset}{\emptyset}
\newcommand{\Cup}{\bigcup}
\newcommand{\Cap}{\bigcap}
\newcommand{\ld}{\ldots}
\newcommand{\cd}{\cdots}
\newcommand{\cc}{\circ}
\newcommand{\col}{\, \colon \,}
\newcommand{\mto}{\mapsto}
\newcommand{\uto}[1]{\overset{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}
\newcommand{\equ}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}}
\newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\)
1.
\( S \) を集合, \( (Y_j)_{j \in J} \) を位相空間の族とし, 各 \( j \) に対して, 写像
\[
g_j \col S \to Y_j
\]
が与えられているとする.
2.
このとき, すべての \( g_j \) を連続にするような \( S \) の最弱の位相を,
「写像族 \( (g_j)_{j \in J} \) によって定まる \( S \) の始位相」
という.
3.
始位相の一意性は明らかであるが, そもそも始位相は存在するのか？
存在する.
部分集合族
\[
\Cup_{j \in J} \set{g_j^{-1}(O)}{\text{\( O \) は \( Y_j \) の開集合}}
\]
で生成される \( S \) の位相を考えればよい.
1.
\( S \) を集合, \( (X_i)_{i \in I} \) を位相空間の族とし, 各 \( i \) に対して, 写像
\[
f_i \col X_i \to S
\]
が与えられているとする.
2.
このとき, すべての \( f_i \) を連続にするような \( S \) の最強の位相を,
「写像族 \( (f_i)_{i \in I} \) によって定まる \( S \) の終位相」
という.
3.
終位相の一意性は明らかであるが, そもそも終位相は存在するのか？
存在する.
部分集合族
\[
\set{A \ss S}{\text{任意の \( i \in I \) に対して, \( f_i^{-1}(A) \) は \( X_i \) の開集合}}
\]
がそのような位相となっている.