\( X \) を集合とする. その部分集合族 \( \scA \) に対して, \( \scA \) の要素をすべて開集合とするような \( X \) の最弱の位相 \( \scO \) が存在する： 位相 \( \scO \) は \[ \scA \ss \scO \] をみたし, \( \scA \ss \scO' \) である任意の位相に対して, \[ \scO \ss \scO' \] が成り立つ.
このような位相の一意性は自明である. この位相を
「部分集合族 \( \scA \) によって生成される位相」
という.
最初に述べた命題を示そう. まず補題から.
補題. 位相の共通部分はまた位相である： \( (\scO_{\l})_{\l \in \L} \) が集合 \( X \) 上の位相の族であれば, \[ \Cap_{\l \in \L} \scO_{\l} \] も \( X \) 上の位相である.
証明. 位相の３つの条件を確かめればよい.
（１） 任意の \( \l \in \L \) に対して, \[ \emset, \, X \in \scO_{\l} \] であるので, \[ \emset, \, X \in \Cap_{\l \in \L} \scO_{\l} \] である.
（２） \[ U, \, V \in \Cap_{\l \in \L} \scO_{\l} \] とする. このとき, \[ \forall \l \in \L, \quad U, \, V \in \scO_{\l}. \] 各 \( \scO_{\l} \) は位相であるので, \[ \forall \l \in \L, \quad U \cap V \in \scO_{\l}. \] したがって, \[ U \cap V \in \Cap_{\l \in \L} \scO_{\l} \] である.
（３） \[ \forall i \in I, \quad U_i \in \Cap_{\l \in \L} \scO_{\l} \] とする. このとき, \[ \forall i \in I, \quad \forall \l \in \L, \quad U_i \in \scO_{\l}. \] 各 \( \scO_{\l} \) は位相であるので, \[ \forall \l \in \L, \quad \Cup_{i \in I} U_i \in \scO_{\l}. \] したがって, \[ \Cup_{i \in I} U_i \in \Cap_{\l \in \L} \scO_{\l} \] である. □
空である位相の族（\( \L = \emset \) ）に対しても補題は正しいことを注意しておく. この場合, \[ \Cap_{\l \in \L} \scO_{\l} = 2^X = \text{\( X \) 上の離散位相} \] である.
補題の系. \( \scA \) を集合 \( X \) の部分集合族とする. \( \scA \) を含む \( X \) 上の位相の族の共通部分もまた, \( \scA \) を含む \( X \) 上の位相である.
空族に対しても成り立つことは, 補題同様である.
最初の命題の証明. 次のような \( X \) 上の位相の族を考える： \[ \set{X \text{ 上の位相 } \scO'}{\scA \ss \scO'}. \] この位相の族の共通部分を \( \scO \) とする. 補題の系より, \( \scO \) は \( \scA \) を含む位相である. \( \scO \) は上の位相の族の共通部分であるので, この位相の族に属する任意の位相よりも小さい. したがって, \( \scO \) は \( \scA \) を含む最弱の位相である. □