位相空間 \( X \) がハウスドルフであるとは, \( X \) の異なる２点が \( X \) の開集合で分離できることである：
- 任意の異なる２点 \( x \), \( y \in X \) に対して, \[ x \in U, \quad y \in V, \quad U \cap V = \emset \] をみたす \( X \) の開集合 \( U \), \( V \) が存在する.
簡単な議論で, この条件は次のように言い換えられる：
- 対角線集合 \[ \D := \set{(x,y) \in X \tm X}{x = y} \] は, \( X \tm X \) の閉集合である.
1. まず, \( A \), \( B \ss X \) に対して, \[ A \cap B = \emset \equ A \tm B \ss \D^c \] であることに注意する.
2. また, \( X \tm X \) の部分集合族 \[ \calB := \set{U \tm V}{\text{\( U \), \(V\) は \( X \) の開集合}} \] が, \( X \tm X \) の位相の基であることにも注意する.
3. \( X \) がハウスドルフであるという条件は, 以下のように変形できる：
\( X \) はハウスドルフ
\( \equ \) 任意の相異なる２点 \( x \), \( y \in X\) に対して, \( X \) の開集合 \( U \), \( V \) が存在して, \[ x \in U \quad \text{かつ} \quad y \in V \quad \text{かつ} \quad U \cap V = \emset . \]
\( \equ \) 任意の \( p \in \D^c \) に対して, ある \( B \in \calB \) が存在して, \[ p \in B \quad \text{かつ} \quad B \ss \D^c . \]
\( \equ \) \( \D^c \) は \( \calB \) の要素の和.
\( \equ \) \( \D^c \) は \( X \tm X \) の開集合.
\( \equ \) \( \D \) は \( X \tm X \) の閉集合.