コンパクト空間の縮小閉集合列と区間縮小法の原理

\( \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\m}{m^{*}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\equ}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \)

\( X \) がコンパクト空間であれば, \( X \) の空でない閉集合の縮小列 \[ F_1 \sp F_2 \sp F_3 \sp \cd \] に対して, \[ \Cap_{k=1}^{\oo} F_k \ne \emset \] が成り立つ.

証明. \[ \Cap_{k=1}^{\oo} F_k = \emset \] であれば, 両辺の補集合をとることにより, \[ \Cup_{k=1}^{\oo} F_k^c = X \] を得る. \( X \) はコンパクトなので, ある \( n \) が存在して, \[ X = \Cup_{k=1}^n F_k^c = F_n^c \] である. 両辺の補集合をとると, \[ \emset = F_n \] となるが, これは \( F_n \) が空でないという仮定に矛盾する. □

系： 位相空間 \( X \) の空でない閉集合からなる縮小列 \[ F_1 \sp F_2 \sp F_3 \sp \cd \] は, あるコンパクト集合 \( K \) が存在して, \[ K \sp F_1 \] となるとき, \[ \Cap_{k=1}^{\oo} F_k \ne \emset \] である.

これより, 「区間縮小法の原理」が得られる： \( \bbR \) の有界閉区間の縮小列 \[ I_1 \sp I_2 \sp I_3 \sp \cd \] に対して, \[ \Cap_{k=1}^{\oo} I_k \ne \emset \] が成り立つ.