前回, 次の命題を示しました. \( a \), \( b \) は \( a < b \) をみたす実数です.
\( [a,b] \) を被覆する有界開区間の有限族 \( \calI \)に対して, \[ \sum_{I \in \calI} \ell(I) > b - a \] が成り立つ.
この命題は帰納法でも証明できます.
証明. \( \# \calI \) に関する帰納法で示す.
1.
\( \# \calI = 1\) のときには明らかである.
2.
\( \# \calI \ge 2 \) とする. \( \calI \) の要素 \( (c, d) \) で \( a \) を含むものが存在する： \[ (c,d) \in \calI, \quad c < a < d. \]
A) \( d \ge b \) のとき： \[ \sum_{I \in \calI} \ell(I) > \ell( (c,d) ) = d - c > b - a. \]
B) \( d < b \) のとき： \( \, [d, b] \) は \[ \calJ := \calI \setminus \{(c,d)\} \] で覆われており, 帰納法の仮定により, \[ \sum_{J \in \calJ} \ell(J) > b - d. \] したがって, \begin{align*} \sum_{I \in \calI} \ell(I) &= \sum_{J \in \calJ} \ell(J) + (d - c) \\[0.5em] &> (b - d) + (d - c) \\[0.5em] &= b - c \\[0.5em] &> b - a. \end{align*}
以上で命題は証明された. ■■■