\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( X \) を距離空間とし, \( F_1\), \( F_2 \subset X \) を互いに交わらない閉集合とする. このとき, \[ F_1 \subset U_1, \quad F_2 \subset U_2, \quad U_1 \cap U_2 = \emptyset \] をみたす開集合 \( U_1 \), \( U_2 \) が存在する.
以前, ２つの証明を述べました. 第３の証明を述べます. 次の命題を使います.
\( X \) を距離空間とし, その閉集合 \( F \) と開集合 \( G \) は \( F \subset G \) をみたすとする. このとき, 連続関数 \( f: X \to \R \) で, \begin{gather*} &0 \le f(x) \le 1 \quad \forall \, x \in X, \\[0.5em] &f |_F = 1, \\[0.5em] &f |_{G^c} = 0 \end{gather*} をみたすものが存在する.
証明.\[ f(x) = \frac{d(x, G^c)}{d(x,F) + d(x,G^c)} \quad (x \in X) \] とおく.
1. \( f(x) \) は連続関数である：
- \( d(x,F) \) と \( d(x,G^c) \) は連続関数（前回示しました）.
-
分母は０にならない.
\( ( \because \, d(x,F) + d(x,G^c) = 0 \Rightarrow d(x,F) = d(x,G^c) = 0 \Rightarrow x \in F \cap G^c \Rightarrow \text{矛盾}.) \)（ \( \emptyset \neq A \) が閉集合で \( x \not\in A \) のとき, \( d(x,A) > 0 \) であることに注意.）
2. \( 0 \le f(x) \le 1 \), \( f |_F = 1 \), \( f |_{G^c} = 0 \) である： 明らか. □
