\(
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\)1. \( (X,d) \) を距離空間とし, \( a \in X \) とする. このとき,
\[
d( \Box, a) : X \to \R, \quad x \mapsto d(x,a)
\]
は連続である.
証明.
- 三角不等式より, 任意の \(x, y \in X\) に対して, \begin{align*} &d(x,a) \le d(x,y) + d(y,a), \\[0.5em] &d(y,a) \le d(y,x) + d(x,a). \end{align*} したがって, \begin{align*} &d(x,a) - d(y,a) \le d(x,y), \\[0.5em] &d(y,a) - d(x,a) \le d(y,x). \end{align*} \[ \therefore \, \bigl| \, d(x,a) - d(y,a) \, \bigr| \le d(x,y). \]
- 任意の \( \e > 0 \) に対して, \[ d(x,y) < \e \Longrightarrow \bigl| \, d(x,a) - d(y,a) \, \bigr| < \e. \] したがって, \( d(\Box, a) \) は一様連続. よって, 連続. □
証明.
- 三角不等式より, 任意の \(x, y \in X\) に対して, \begin{align*} &d(x,A) \le d(x,y) + d(y,A), \\[0.5em] &d(y,A) \le d(y,x) + d(x,A). \end{align*} （こちらに証明があります.） したがって, \begin{align*} &d(x,A) - d(y,A) \le d(x,y), \\[0.5em] &d(y,A) - d(x,A) \le d(y,x). \end{align*} \[ \therefore \, \bigl| \, d(x,A) - d(y,A) \, \bigr| \le d(x,y). \]
- 任意の \( \e > 0 \) に対して, \[ d(x,y) < \e \Longrightarrow \bigl| \, d(x,A) - d(y,A) \, \bigr| < \e. \] したがって, \( d(\Box, A) \) は一様連続. よって, 連続. □