\(
\newcommand{\d}{\mathrm{def}}
\)えもいわれぬ味わい.
集合 \( A \) に対して,
各 \( a \in A \) に対して, 上の状況のどちらかが起こります.
右側の状況が起こるような \( a \) を集めてみます：
\[
T := \{ a \in A \mid a \not\in S_a \}.
\]
3.
\[
\Phi \, \colon \, A \to P(A), \quad \Box \mapsto T.
\]
\( \Phi \) は全単射なので, \( T \) に対応するような \( b \in A \) があります：
\[
T = S_b.
\]
4.
「 \(A\) の部分集合の全体 」
を \(A\) のべき集合といいます. これを \( P(A) \) と書くことにしましょう：
\[
P(A) := \{ B \mid B \subset A \}.
\]
集合 \( A \) とそのべき集合 \( P(A) \) は, 必ず異なる濃度をもちます.
- ２つの集合 \(S\) と \(T\) の濃度が等しい \( \quad \overset{\d}{\Longleftrightarrow} \quad \) \(S\) と \(T\) の間に全単射がある.
- ２つの集合 \(S\) と \(T\) の濃度が異なる \( \quad \overset{\d}{\Longleftrightarrow} \quad \) \(S\) と \(T\) の間に全単射がない.
上の状況のどちらかが起こります.
左の場合： \( b \in S_b \) なので, \( T \) の定義より, \[ b \not\in T. \] 矛盾です.
右の場合： \( b \not\in S_b \) なので, \( T \) の定義より, \[ b \in T. \] 矛盾です.
5. したがって, \( A \) と \( P(A) \) の濃度は異なります.