\(
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\a}{\alpha}
\)無限にも種類があるよ, という話.
2. \( n_2 \) と \( b_2 \) の定義：
\begin{align*}
&n_2 := \min \{ n \mid a_n \in (a_{n_1},b_1) \}, \\[0.5em]
&b_2 \in (a_{n_2}, b_1) \quad (\text{任意にとる}).
\end{align*}
\( n_1 \) の最小性より,
\[
n_1 < n_2.
\]
3. \( n_3 \) と \( b_3 \) の定義：
\begin{align*}
&n_3 := \min \{ n \mid a_n \in (a_{n_2},b_2) \}, \\[0.5em]
&b_3 \in (a_{n_3}, b_2) \quad (\text{任意にとる}).
\end{align*}
\( n_2 \) の最小性より,
\[
n_2 < n_3.
\]
4. 以下同様に繰り返します：
- 無限集合 \(S\) が可算であるとは, \[ \{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots \} \] から \(S\) への全単射が存在することです.
- 無限集合 \(S\) が非可算であるとは, \(S\) が可算でないことです.
後で使うので.
区間縮小法の原理: 実数 \( a_n \), \( b_n \) \( (n \ge 1) \) が \[ a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \le \cdots \le b_n \le \cdots \le b_2 \le b_1 \] をみたすとき, \[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \, [a_n, \, b_n] \, \neq \, \emptyset. \]
\[ a_1 < a_2 < \cdots < a_n < \cdots < b_n < \cdots < b_2 < b_1 \] であるときには, \[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \, (a_n, \, b_n) \, \neq \, \emptyset \] です. なぜなら, \[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \, (a_n, \, b_n) \, \supset \, \bigcap_{n=1}^{\infty} \, [a_{n+1}, \, b_{n+1}] \, \neq \, \emptyset \] だからです.さて, ここからが本題です.
「 \( \R \) は非可算である 」
を示します.
背理法でやります.
\( \R \) が可算であると仮定して, \( \R \) の元を１列に並べます： \[ \R \, : \,\, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \ldots \] 1. \( n_1 \) と \( b_1 \) の定義： \begin{align*} &n_1 := \min \{ n \mid a_n \in (0,1) \}, \\[0.5em] &b_1 \in (a_{n_1}, 1) \quad (\text{任意にとる}). \end{align*}
- \( n_1 < n_2 < n_3 < \cdots < n_k < \cdots \).
- \( a_{n_1} < a_{n_2} < \cdots < a_{n_k} < \cdots < b_{k} < \cdots < b_2 < b_1 \).