\(
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\newcommand{\co}{\, \colon \,}
\newcommand{\bz}{\boldsymbol{z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\detR}{\textstyle \det_{\R}}
\newcommand{\detC}{\textstyle \det_{\C}}
\newcommand{\dimR}{\textstyle \dim_{\R}}
\newcommand{\dimC}{\textstyle \dim_{\C}}
\newcommand{\a}{\alpha}
\newcommand{\p}{\varphi}
\newcommand{\t}{\tau}
\newcommand{\CnC}{\C^n \otimes_{\R} \C}
\newcommand{\za}{\bz \otimes \a}
\newcommand{\f}{f_A \otimes \id_{\C}}
\newcommand{\zvec}{\begin{pmatrix} \bz \\ \overline{\bz} \end{pmatrix}}
\)\( A \) を \( n \times n \) 複素行列とし,
\[
f_A \co \C^n \to \C^n, \quad \bz \mapsto A \bz
\]
とする.
\[
\detR f_A = | \det A |^2
\]
を示す.
\( \detR \) は \( \R \) 線形写像とみての行列式.
あらすじ.
- \( \C \) 線形写像 \[ \p \co \CnC \to \C^{2n} \quad \text{s.t.} \quad \p (\za) = \zvec \a \] がただ１つある. これは同型.
-
図式
は可換. ここで, \[ B := \begin{pmatrix} A & O \\ O & \overline{A} \end{pmatrix}. \]\( \CnC \) \( \xrightarrow{\f} \) \( \CnC \) \( \p \downarrow \phantom{\p} \) \( \phantom{\p} \downarrow \p \) \( \C^{2n} \) \( \xrightarrow[f_B]{} \) \( \C^{2n} \) - \[ \detC (\f) = \detC f_B . \]
- \[ \begin{cases} \detC (\f) = \detR f_A, \\[0.5em] \detC f_B = \det B = | \det A |^2. \end{cases} \] \[ \therefore \, \detR f_A = |\det A|^2. \]
より詳しく.
1.
- \( \R \) 双線形写像 \[ \t \co \C^n \times \C \to \C^{2n}, \quad (\bz, \a) \mapsto \zvec \a \] を考える. テンソル積の普遍性より, \( \R \) 線形写像 \[ \p \co \CnC \to \C^{2n} \quad \text{s.t.} \quad \p (\za) = \t (\bz, \a) \] がただ１つ存在する.
- \( \p \) は \( \C \) 線形写像でもある.
- \( \p \) は全射. \begin{align*} &\dimC (\CnC) = \dimR \C^n = 2n, \\[0.5em] &\dimC \C^{2n} = 2n \end{align*} より, \( \p \) は \( \C \) ベクトル空間の同型.