ベクトル空間の係数拡大（２）

\( \newcommand{\colo}{\, \colon \,} \newcommand{\vw}{v \otimes w} \newcommand{\VW}{V \otimes_k W} \newcommand{\VK}{V \otimes_k K} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\p}{\varphi} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)ベクトル空間の係数拡大（１）の続き.

補題. \( U \), \( V \), \( W \) を体 \( k \) 上のベクトル空間とし, \[ F, G \, \colon \, \VW \to U \] を \( k \) 線形写像とする. \[ F(\vw) = G(\vw) \quad (\forall \, v \in V, \, \forall \, w \in W) \] ならば \( F = G \) である.

証明. \( k \) 双線形写像 \[ \t \colo V \times W \to U, \quad (v,w) \mapsto F(\vw) = G(\vw) \] を考える. \( k \) 線形写像 \( F \), \( G \) はともに, 図式

\( V \times W \)	\( \stackrel{\large \otimes}{\longrightarrow} \)	\( \VW \)
	\( \longrightarrow \)	\( \phantom{F,\,G} \downarrow F,\,G \)
		\( U \)

\( V \times W \)	\( \stackrel{\large \otimes}{\longrightarrow} \)	\( \VW \)
	\( \begin{matrix} {} \\ \t \,\,\, \end{matrix} \)	\( \phantom{F,\,G} \downarrow F,\,G \)
		\( U \)

を可換にするので, \( F = G \) である. □

\( k \subset K \) は体の拡大. \( V \) は \( k \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間で, \[ v_1, \, \ldots, \, v_n \] は \( V \) の \( k \) 基底. このとき, \[ \p \colo K^n \to \VK, \quad \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \mapsto v_1 \otimes a_1 + \cdots + v_n \otimes a_n \] は \( K \) 線形同型.

系. \[ v_1 \otimes 1, \, \cdots, \, v_n \otimes 1 \] は \( \VK \) の \( K \) 基底である.

1. \( \p \) が \( K \) 線形写像であることはすぐ分かる.

2. あとは, \( \p \) が全単射であることを示せばよい.

\[ \t \colo V \times K \to K^n, \quad (v,a) \mapsto \begin{pmatrix} \l_1 a \\ \vdots \\ \l_n a \end{pmatrix} \] と定義. ここで, \[ v = \sum_{i=1}^n \l_i v_i, \quad \l_i \in k \] である. このとき, \( \t \) は \( k \) 双線形.

\( k \) 線形写像 \( \psi \colo \VK \to K^n \) を, 図式

\( V \times K \)	\( \stackrel{\large \otimes}{\longrightarrow} \)	\( \VK \)
	\( \longrightarrow \)	\( \phantom{\psi} \downarrow \psi \)
		\( K^n \)

\( V \times K \)	\( \stackrel{\large \otimes}{\longrightarrow} \)	\( \VK \)
	\( \begin{matrix} {} \\ \t \,\,\, \end{matrix} \)	\( \phantom{\psi} \downarrow \psi \)
		\( K^n \)

を可換にするものとして定める.

\[ K^n \quad \begin{matrix} \overset{\p}{\longrightarrow} \\[-1em] \underset{\psi}{\longleftarrow} \end{matrix} \quad \VK \]

1. \( \psi \circ \p = \id_{K^n} \) : \begin{align*} (\psi \circ \p) \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} &= \psi (v_1 \otimes a_1 + \cdots + v_n \otimes a_n) \\[0.5em] &= \psi (v_1 \otimes a_1) + \cdots + \psi (v_n \otimes a_n) \\[0.5em] &= \t(v_1, a_1) + \cdots + \t(v_n, a_n) \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \end{align*} なので.

2. \( \p \circ \psi = \id_{\VK} \) : \( v \in V \), \( a \in K \) に対して, \begin{align*} (\p \circ \psi) (v \otimes a) &= \p \begin{pmatrix} \l_1 a \\ \vdots \\ \l_n a \end{pmatrix} \\[0.5em] &= v_1 \otimes (\l_1 a) + \cdots + v_n \otimes (\l_n a) \\[0.5em] &= (\l_1 v_1) \otimes a + \cdots + (\l_n v_n) \otimes a \\[0.5em] &= v \otimes a \\[0.5em] &= \id_{\VK} (v \otimes a) \end{align*} なので. 補題より.

以上より, \( \p \) は全単射である.

終わり.