\(
\newcommand{\V}{V \otimes W}
\newcommand{\Vd}{V' \otimes W'}
\newcommand{\t}{\tau_{f,g}}
\newcommand{\fg}{f \otimes g}
\)\( V \), \( V' \), \( W \), \( W' \) を体 \( k \) 上のベクトル空間とします.
２つの \( k \) 線形写像
\begin{align*}
&f \colon V \to V', \\
&g \colon W \to W'
\end{align*}
から, 新しい \( k \) 線形写像
\[
f \otimes g \colon \V \to \Vd
\]
を作ります.
写像
\[
\t \colon V \times W \to \Vd, \quad (v,w) \mapsto f(v) \otimes g(w)
\]
は \( k \) 双線形写像なので, 図式
を可換にする \( k \) 線形写像
\[
\fg \colon \V \to \Vd
\]
がただ１つ存在します. \( v \in V\), \( w \in W \) に対して,
\[
(\fg)(v \otimes w) = f(v) \otimes g(w)
\]
が成り立ちます.
終わり.
| \( V \times W \) | \( \stackrel{\large \otimes}{\longrightarrow} \) | \( \V \) |
| \( \longrightarrow \) | \( \phantom{\fg} \downarrow \fg \) | |
| \( \Vd \) |
| \( \begin{matrix} {} \\ \t \,\,\, \end{matrix} \) | |