\(
\newcommand{\s}{\sigma}
\newcommand{\t}{\tau}
\newcommand{\l}{\lambda}
\newcommand{\m}{\mu}
\newcommand{\ph}{\varphi}
\newcommand{\ps}{\psi}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\)まったく見事な定義です.
\( V \) と \( W \) を体 \( k \) 上のベクトル空間とする.
\( k \) ベクトル空間 \( T \) と \( k \) 双線形写像
\[
\t \colon V \times W \to T
\]
の対 \( (T, \t) \) が \( V \) と \( W \) のテンソル積であるとは, 次の条件をみたすことである.
条件:
\( k \) ベクトル空間 \( S \) と \( k \) 双線形写像
\[
\s \colon V \times W \to S
\]
の対 \( (S, \s) \) が与えられたとき, 図式
| \( V \times W \) |
\( \stackrel{\large \t}{\longrightarrow} \) |
\( T \) |
|
\( \longrightarrow \) |
\( \phantom{\ph} \downarrow \ph \) |
|
|
\( S \) |
| \( V \times W \) |
\( \stackrel{\large \t}{\longrightarrow} \) |
\( T \) |
|
\( \begin{matrix} {} \\ \s \,\,\, \end{matrix} \) |
\( \phantom{\ph} \downarrow \ph \) |
|
|
\( S \) |
を可換にする \( k \) 線形写像
\[
\ph \colon T \to S
\]
がただ１つ存在する.
上の条件をテンソル積の普遍性といいます.
テンソル積の一意性.
\( (T, \t) \) と \( (T', \t') \) を \( V \) と \( W \) のテンソル積とする. このとき, 図式
| \( V \times W \) |
\( \stackrel{\large \t}{\longrightarrow} \) |
\( T \) |
|
\( \longrightarrow \) |
\( \phantom{\ph} \downarrow \ph \) |
|
|
\( T' \) |
| \( V \times W \) |
\( \stackrel{\large \t}{\longrightarrow} \) |
\( T \) |
|
\( \begin{matrix} {} \\ \t' \,\,\, \end{matrix} \) |
\( \phantom{\ph} \downarrow \ph \) |
|
|
\( T' \) |
を可換にする \( k \) 線形写像 \( \ph \colon T \to T' \) がただ１つあり, 図式
| \( V \times W \) |
\( \stackrel{\large \t}{\longrightarrow} \) |
\( T \) |
|
\( \longrightarrow \) |
\( \phantom{\ps} \uparrow \ps \) |
|
|
\( T' \) |
| \( V \times W \) |
\( \stackrel{\large \t}{\longrightarrow} \) |
\( T \) |
|
\( \begin{matrix} {} \\ \t' \,\,\, \end{matrix} \) |
\( \phantom{\ps} \uparrow \ps \) |
|
|
\( T' \) |
を可換にする \( k \) 線形写像 \( \ps \colon T' \to T \) がただ１つある. \( k \) 線形写像 \( \ps \circ \ph \) と \( \id_T \) は図式
| \( V \times W \) |
\( \stackrel{\large \t}{\longrightarrow} \) |
\( T \) |
|
\( \longrightarrow \) |
\( \downarrow \ps \circ \ph, \,\, \id_T \) |
|
|
\( T \) |
| \( V \times W \) |
\( \stackrel{\large \t}{\longrightarrow} \) |
\( T \) |
|
\( \begin{matrix} {} \\ \t \,\,\, \end{matrix} \) |
\( \downarrow \ps \circ \ph, \,\, \id_T \) |
|
|
\( T \) |
を可換にするが, そのような \( k \) 線形写像はただ１つなので,
\[
\ps \circ \ph = \id_T
\]
である. 同様に,
\[
\ph \circ \ps = \id_{T'}
\]
も成り立つ. したがって, 一意的に定まる写像 \( \ph \) は線形同型であり, この写像によって, テンソル積はすべて同一視される.
テンソル積の存在.
\( A \) を \( V \) の基底,
\( B \) を \( W \) の基底,
とする. 直積集合 \( A \times B \) を基底とするベクトル空間 \( T \) と
\[
\t (a,b) = (a,b) \quad (a \in A, \, b \in B)
\]
で定義される \( k \) 双線形写像
\[
\t \colon V \times W \to T
\]
を考えればよい.
1. \( V \) と \( W \) のテンソル積を
\[
V \otimes_k W
\]
と書きます. 考えている体が明らかなときには, 単に \( V \otimes W \) と書くこともあります.
2. \( v \in V \) と \( w \in W \) に対して, \( \t(v,w) \) を
\[
v \otimes w
\]
と書きます.
終わり.