\(
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\a}{\alpha}
\newcommand{\b}{\beta}
\newcommand{\c}{\gamma}
\newcommand{\d}{\delta}
\newcommand{\abar}{\overline{\a}}
\newcommand{\bbar}{\overline{\b}}
\newcommand{\cbar}{\overline{\c}}
\newcommand{\dbar}{\overline{\d}}
\newcommand{\m}{m_A}
\newcommand{\detR}{{\textstyle \det_{\R}}}
\newcommand{\detC}{{\textstyle \det_{\C}}}
\)\( 2 \times 2 \) 複素行列
\[
A =
\begin{pmatrix}
\a & \c \\
\b & \d
\end{pmatrix}
\]
を考える. 実線形かつ複素線形な写像
\[
\m \colon \C^2 \to \C^2, \quad \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \mapsto A \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}
\]
に対して,
\[
\textstyle \det_{\R} \m = \left| \det_{\C} \m \right|^2
\]
は成り立つか？
\( n=1 \) のときの計算をまねしてみます。
\( \C^2 \) の \( \R \) 基底として,
\[
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}
\]
がとれます.
この基底に関する実線形写像 \( \m \) の行列表示は,
\begin{align*}
A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \a \\ \b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \a_x + i \a_y \\ \b_x + i \b_y \end{pmatrix} \\[0.5em]
&= \a_x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \b_x \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \a_y \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} + \b_y \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}, \\[0.5em]
A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \c \\ \d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \c_x + i \c_y \\ \d_x + i \d_y \end{pmatrix} \\[0.5em]
&= \c_x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \d_x \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \c_y \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} + \d_y \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}, \\[0.5em]
A \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} i\a \\ i\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\a_y + i \a_x \\ -\b_y + i \b_x \end{pmatrix} \\[0.5em]
&= -\a_y \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \b_y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \a_x \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} + \b_x \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}, \\[0.5em]
A \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} i\c \\ i\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\c_y + i \c_x \\ -\d_y + i \d_x \end{pmatrix} \\[0.5em]
&= -\c_y \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \d_y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \c_x \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} + \d_x \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}
\end{align*}
より,
\[
\left(
\begin{array}{cc|cc}
\a_x & \c_x & -\a_y & -\c_y \\
\b_x & \d_x & -\b_y & -\d_y \\ \hline
\a_y & \c_y & \a_x & \c_x \\
\b_y & \d_y & \b_x & \d_x
\end{array}
\right).
\]
さて, 行列式を計算しましょう:
\begin{align*}
\left|
\begin{array}{cc|cc}
\a_x & \c_x & -\a_y & -\c_y \\
\b_x & \d_x & -\b_y & -\d_y \\ \hline
\a_y & \c_y & \a_x & \c_x \\
\b_y & \d_y & \b_x & \d_x
\end{array}
\right|
&=
\left|
\begin{array}{cc|cc}
\a & \c & i\a & i\c \\
\b & \d & i\b & i\d \\ \hline
\a_y & \c_y & \a_x & \c_x \\
\b_y & \d_y & \b_x & \d_x
\end{array}
\right| \quad
\begin{pmatrix}
\text{１行目 \( \leftarrow \) ３行目 \( \times \, i \)} \\
\text{２行目 \( \leftarrow \) ４行目 \( \times \, i \)}
\end{pmatrix} \\[0.5em]
&=
\left|
\begin{array}{cc|cc}
\a & \c & 0 & 0 \\
\b & \d & 0 & 0 \\ \hline
\a_y & \c_y & \abar & \cbar \\
\b_y & \d_y & \bbar & \dbar
\end{array}
\right| \quad
\begin{pmatrix}
\text{３列目 \( \leftarrow \) １列目 \( \times \, (-i) \)} \\
\text{４列目 \( \leftarrow \) ２列目 \( \times \, (-i) \)}
\end{pmatrix} \\[0.5em]
&=
\left|
\begin{array}{cc|cc}
\a & \c & 0 & 0 \\
\b & \d & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & \abar & \cbar \\
0 & 0 & \bbar & \dbar
\end{array}
\right| \quad \text{（前回と同じ計算）} \\[0.5em]
&=
\left| \,\, \left(
\begin{array}{cc|cc}
\a & \c & 0 & 0 \\
\b & \d & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right) \,\, \left(
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & \abar & \cbar \\
0 & 0 & \bbar & \dbar
\end{array}
\right) \,\, \right| \\[0.5em]
&=
\left|
\begin{array}{cc|cc}
\a & \c & 0 & 0 \\
\b & \d & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right|
\, \times \,
\left|
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & \abar & \cbar \\
0 & 0 & \bbar & \dbar
\end{array}
\right| \\[0.5em]
&=
\begin{vmatrix}
\a & \c \\
\b & \d
\end{vmatrix}
\, \times \,
\begin{vmatrix}
\abar & \cbar \\
\bbar & \dbar
\end{vmatrix} \quad \text{（展開）} \\[0.5em]
&=
\begin{vmatrix}
\a & \c \\
\b & \d
\end{vmatrix}
\, \times \,
\overline{
\begin{vmatrix}
\a & \c \\
\b & \d
\end{vmatrix}
}.
\end{align*}
したがって,
\[
\detR \m = | \detC \m |^2
\]
です.
目的の式が得られました.
これを計算せずに導く方法もあるので, 次回, それを見てみます.
ついでに.
\( B \), \( C \) を \( n \times n \) 実行列とするとき, \[ \det \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix} = \bigl| \, \det (B + iC) \, \bigr|^2. \]
続く. （\( \to \) 複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は？ （４））