\(
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\a}{\alpha}
\)\( \a = a + bi \in \C \) （\(a\), \(b \in \R\)）に対して,
\[
\begin{vmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{vmatrix}
= a^2 + b^2 = | \a |^2
\]
ですが, これを少し違った方法で計算してみます:
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a + bi & -b + ai \\
b & a
\end{vmatrix} \quad \text{（１行目 \( \leftarrow \) ２行目 \( \times i \)）} \\[1em]
&=
\begin{vmatrix}
\a & i \a \\
b & a
\end{vmatrix} \\[1em]
&=
\begin{vmatrix}
\a & 0 \\
b & a - bi
\end{vmatrix} \quad \text{（２列目 \( \leftarrow \) １列目 \( \times (-i) \)）} \\[1em]
&=
\begin{vmatrix}
\a & 0 \\
b & \overline{\a}
\end{vmatrix} \\[1em]
&=
\begin{vmatrix}
\a & 0 \\
b - \frac{\a - \overline{\a}}{2i} & \overline{\a}
\end{vmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
\text{２行目 \( \leftarrow \) １行目 \( \times \left( -\frac{1}{2i} \right) \)} \\
\text{１列目 \( \leftarrow \) ２列目 \( \times \left( \frac{1}{2i} \right) \)}
\end{pmatrix} \\[1em]
&=
\begin{vmatrix}
\a & 0 \\
0 & \overline{\a}
\end{vmatrix} \\[1em]
&= | \a |^2.
\end{align*}
続く.