\(
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\a}{\alpha}
\newcommand{\l}{\lambda}
\newcommand{\m}{m_{\alpha}}
\)\( \a \in \C\) に対して, 写像
\[
\m \colon \C \to \C, \quad z \mapsto \a z
\]
は複素線形写像である:
- \( \m (z_1 + z_2) = \m (z_1) + \m (z_2) \quad \forall z_1, z_2 \in \C \),
- \( \m (\l z) = \l \m (z) \quad \forall \l \in \C, \, \forall z \in \C \).
1. \( \m \) を複素線形写像と考えるとき.
\( 1 \in \C \) は複素ベクトル空間 \( \C \) の基底である. \[ \m (1) = \a = \a \cdot 1 \] より, この基底に関する \( \m \) の行列表示は \[ ( \a ). \] したがって, 複素線形写像 \( \m \) の行列式は, \[ \textstyle \det_{\C} \m = \a. \]
2. \( \m \) を実線形写像と考えるとき.
\( 1 \), \( i \in \C \) は実ベクトル空間 \( \C \) の基底である. \begin{align*} &\m (1) = \a = a + bi, \\[0.5em] &\m (i) = \a i = -b + ai \end{align*} より, この基底に関する \( \m \) の行列表示は \[ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}. \] したがって, 実線形写像 \( \m \) の行列式は, \[ \textstyle \det_{\R} \m = a^2 + b^2 = \left| \a \right|^2. \]
上の 1 と 2 より, \[ \textstyle \det_{\R} \m = \left| \det_{\C} \m \right|^2 \] が成り立っています. さて, \( n \times n \) 複素行列 \( A \) に対して, 写像 \[ m_A \colon \C^n \to \C^n, \quad \begin{pmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} \mapsto A \begin{pmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} \] を考えます. \( m_A \) は複素線形写像です. したがって, 実線形写像でもあります. このとき, \[ \textstyle \det_{\R} m_A = \left| \det_{\C} m_A \right|^2 \] は成り立つでしょうか？ 続く.