\(
\newcommand{\g}{\gamma}
\newcommand{\ab}{[a,b]}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\)閉区間 \( \ab \) は連結です. \( a \), \( b \) は \( a < b \) なる実数です.
この事実は実数直線 \(\R\) の連結性から従うのですが, それを少し丁寧に書いてみます.
記号 \( \sqcup \) は直和を表します.
証明. \( [a,b] \) が連結でないとすると, ある \( \R \) の開集合 \( U \), \( V \) があって, \[ [a,b] \subset U \cup V, \quad [a,b] \cap U \neq \emptyset, \quad [a,b] \cap V \neq \emptyset, \quad [a,b] \cap U \cap V = \emptyset \] となる. このとき, \begin{align*} \R &= (- \infty, a) \sqcup [a,b] \sqcup (b, \infty) \\[0.5em] &= (- \infty, a) \sqcup \bigl([a,b] \cap U \bigr) \sqcup \bigl([a,b] \cap V \bigr) \sqcup (b, \infty) \end{align*} である. \( a \not\in U \cap V \) なので, \( a \not\in U \) または \( a \not\in V \) であるが, \( a \not\in U \) とする. \( a \not\in V \) の場合でも同じである. \( b \) についても同様で, \( b \not\in U \) または \( b \not\in V \) が成り立つ.-
\( b \not\in U \)： このとき,
\[
\R = (- \infty, a) \sqcup \bigl((a,b) \cap U \bigr) \sqcup \bigl([a,b] \cap V \bigr) \sqcup (b, \infty)
\]
である.
\begin{align*}
U' &:= (- \infty, a) \sqcup \bigl([a,b] \cap V \bigr) \sqcup (b, \infty), \\[0.5em]
V' &:= (a,b) \cap U
\end{align*}
とおくと, これらは空でない開集合で, \( \R = U' \sqcup V' \) .
（\( U' \) が開集合であることは, 集合に関する分配法則から分かります.）
-
\( b \not\in V \)： このとき,
\[
\R = (- \infty, a) \sqcup \bigl((a,b] \cap U \bigr) \sqcup \bigl([a,b) \cap V \bigr) \sqcup (b, \infty)
\]
である.
\begin{align*}
U' &:= \bigl((a,b] \cap U \bigr) \sqcup (b, \infty), \\[0.5em]
V' &:= (- \infty, a) \sqcup \bigl([a,b) \cap V \bigr)
\end{align*}
とおくと, これらは空でない開集合で, \( \R = U' \sqcup V' \) .
（\( U' \), \( V' \) が開集合であることは, 集合に関する分配法則から分かります.）