実数直線の連結性

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\p}{\partial} \)補題から. 以下ずっと, 記号 \( \sqcup \) は直和です.

補題. \( X \) を位相空間とする. \( A \subset X \) が開かつ閉ならば, \( \p A = \emptyset \).

証明.

1. \( A \) は開集合なので, \( \Int A = A \).
2. \( A \) は閉集合なので, \( \Ext A = A^{c} \).

よって, \( \p A = \emptyset\). □

\( \R \) は連結である.

証明. \[ \R = U \sqcup V, \quad \text{\(U\), \(V\) は開集合} \] とする. \( U \neq \emptyset \), \( V \neq \emptyset \) として, 矛盾を導く. \[ u \in U ,\, v \in V \] をとる. \( u < v \) とするが, \( u > v \) でも同じである. \[ \d := \sup \{ x \in U \mid x \le v \} \in \R \] を考える.

1. \( \d \) は \( U \) の部分集合の \( \sup \) なので, \( U \) の触点である.
2. \( \d = v \) であるか, そうでなければ \( (\d, v] \subset V \) なので, \( \d \) は \( V \) の触点である.

すなわち, \( \d \in \p U \) であるが, これは先の補題に矛盾する. □

終わり.