\(
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\d}{\delta}
\newcommand{\p}{\partial}
\)補題から. 以下ずっと, 記号 \( \sqcup \) は直和です.
補題. \( X \) を位相空間とする. \( A \subset X \) が開かつ閉ならば, \( \p A = \emptyset \).
証明.
- \( A \) は開集合なので, \( \Int A = A \).
- \( A \) は閉集合なので, \( \Ext A = A^{c} \).
- \( \d \) は \( U \) の部分集合の \( \sup \) なので, \( U \) の触点である.
- \( \d = v \) であるか, そうでなければ \( (\d, v] \subset V \) なので, \( \d \) は \( V \) の触点である.