\(
\newcommand{\a}{\alpha}
\newcommand{\b}{\beta}
\newcommand{\m}{\mu}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
\)\( X \) は連結な位相空間, \( f \colon X \to \R \) は連続な写像とする.
\( \a < \b \) なる \( \a, \b \in \Im f \) に対して, \( [\a, \b] \subset \Im f \) である.
\( \a \) と \( \b \) という値をとれば, その中間の値もとると言っているわけですね。
証明です. 簡単です. 記号 \( \sqcup \) は直和です.
証明. \( \m \in (\a, \b) \) とし, \( \m \in \Im f \) を示す. \( \m \not\in \Im f \) とすると, \[ X = f^{-1} \bigl( (-\infty, \m) \bigr) \sqcup f^{-1} \bigl( (\m, \infty) \bigr). \] \( \a, \b \in \Im f \) より, 右辺の２つの集合は空でない. もちろん両者とも開集合. これは X の連結性に矛盾するので, \( \mu \in \Im f \). \( \Box \)
\( X = [a, b] \) （閉区間）とすれば, 通常の中間値の定理になります. 閉区間は連結だからです.
『 \( [a, b] \) 上の実数値連続関数 \( f \) は, \( f(a) \), \( f(b) \) の任意の中間値を値としてとる. 』
終わり.