行列 \( A \) の最小多項式を求めます.
１． 基本変形で, \( xI - A \) を対角行列にもっていきます：
\[ xI - A \quad \longrightarrow \quad \begin{pmatrix} f_1(x) & & & \\ & f_2(x) & & \\ & & \ddots & \\ & & & f_n(x) \end{pmatrix}. \]各 \( f_i(x) \) はモニックであるとしておきます. （\( f_i(x) \neq 0 \) です. 両辺の行列式の比較により分かります.）
２． 各 \( f_i(x) \) を因数分解します：
| \( f_1(x) \) | \( = \) | \( (x-\alpha_1)^{d_{11}} \) | \( \cdots \) | \( (x-\alpha_r)^{d_{1r}} \), |
| \( f_2(x) \) | \( = \) | \( (x-\alpha_1)^{d_{21}} \) | \( \cdots \) | \( (x-\alpha_r)^{d_{2r}} \), |
| \( \cdots \) | ||||
| \( f_n(x) \) | \( = \) | \( (x-\alpha_1)^{d_{n1}} \) | \( \cdots \) | \( (x-\alpha_r)^{d_{nr}} \). |
| \( \!\!\!\!\! \downarrow \) | \( \!\!\!\!\! \downarrow \) | |||
| \( (x-\alpha_1)^{d_1} \) | \( \cdots \) | \( (x-\alpha_r)^{d_r} \) |
最後で, 指数が最大のところを取り出しました. このとき, 行列 \( A \) の最小多項式は,
\[ \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \varphi_A(x) = (x-\alpha_1)^{d_1} \cdots (x-\alpha_r)^{d_r} = \lcm (\,f_1(x), \, \ldots, \, f_n(x) \,) \]となります.
３． 理由. 行列 \( A \) のジョルダン標準形 \( J \) は,
\[ \begin{align} & J_{d_{11}}(\alpha_1), \, \cdots, \, J_{d_{1r}}(\alpha_r), \\[0.5em] & J_{d_{21}}(\alpha_1), \, \cdots, \, J_{d_{2r}}(\alpha_r), \\[0.5em] & \quad \cdots \\[0.5em] & J_{d_{n1}}(\alpha_1), \, \cdots, \, J_{d_{nr}}(\alpha_r) \end{align} \]を並べたもの. よって,
\[ \varphi_A(x) = \varphi_J(x) = (x - \alpha_1)^{d_1} \cdots (x - \alpha_r)^{d_r}. \]