(a) 複素共役は可換群 \( \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) の元であるので, 任意の \( \sigma \in \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) に対して,
\[ \sigma(\overline{\alpha}) = \overline{\sigma(\alpha)}, \quad \forall \alpha \in \mathbb{Q}[\omega]. \]したがって,
\[ \sigma \left( \frac{u}{\overline{u}} \right) = \frac{\sigma(u)}{\sigma(\overline{u})} = \frac{\sigma(u)}{\overline{\sigma(u)}}. \]よって,
\[ \left| \sigma \left( \frac{u}{\overline{u}} \right) \right| = 1. \]練習 11(c) より, \( u \, / \, \overline{u} \) は 1 の冪根である. 系 3 より, \( u \, / \, \overline{u} \) は 1 の 2p 乗根. したがって, ある k に対して,
\[ \frac{u}{\overline{u}} = \pm \, \omega^k. \quad \Box \](b) \( u \, / \, \overline{u} = - \omega^k \) と仮定する. このとき,
\[ u = - \omega^k \overline{u}. \]両辺を p 乗すると,
\[ u^p = - \overline{u^p}. \]第 1 章の練習 25 より, ある \( a \in \mathbb{Z} \) が存在して,
\[ u^p \equiv a \pmod{p}. \]第 1 章の練習 23 を使うと,
\[ \overline{u^p} \equiv a \pmod{p}. \]したがって,
\[ 2a \equiv 0 \pmod{p} \]である.
\[ 2a = p (c_0 + c_1 \omega + \cdots + c_{p-2} \omega^{p-2}), \quad \exists c_i \in \mathbb{Z} \]より,
\[ 2a = p c_0. \]よって, \( \mathbb{Z} \) において,
\[ p \mid a. \]これより,
\[ u^p \equiv a \equiv 0 \pmod{p}. \]\( u^p \) は単数であるから, \( p \) も単数ということになるが, これは矛盾である. \( \Box \)