\( \alpha \in \mathbb{C} \) とします. \(n \) 次ジョルダン細胞
\[ J := \begin{pmatrix} \alpha & 1 & & & \\ & \alpha & 1 & & \\ & & \alpha & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \alpha \end{pmatrix} \]（もちろん \( n \times n \)）の最小多項式を求めてみます.
\begin{align} I := \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & 1 & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{pmatrix}, \quad N := \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & 0 & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & 0 \end{pmatrix} \end{align}に対して,
\[ J = \alpha I + N. \]次のことがポイントです：
\begin{align} ( \mathbf{a}_1 \, \mathbf{a}_2 \, \cdots \, \mathbf{a}_n ) N &= ( \mathbf{a}_1 \, \mathbf{a}_2 \, \cdots \, \mathbf{a}_n ) \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & 0 & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & 0 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= ( \mathbf{0} \, \mathbf{a}_1 \, \mathbf{a}_2 \, \cdots \, \mathbf{a}_{n-1} ). \end{align}\( \mathbf{a}_i \) は \( n \) 個の成分をもつ列ベクトル. 列ベクトルが右へ 1 つシフトしました.
したがって,
\begin{align} N &= ( \mathbf{0} \, \mathbf{e}_1 \, \cdots \, \mathbf{e}_{n-1} ), \\[0.5em] N^2 &= ( \mathbf{0} \, \mathbf{0} \, \mathbf{e}_1 \, \cdots \, \mathbf{e}_{n-2} ), \\[0.5em] & \,\, \vdots \\[0.5em] N^{n-1} &= ( \mathbf{0} \, \cdots \, \mathbf{0} \, \mathbf{e}_1 ), \\[0.5em] N^n &= ( \mathbf{0} \, \mathbf{0} \, \cdots \, \mathbf{0} ). \end{align}なので,
\[ p(x) := (x - \alpha)^n \]に対して,
\[ p(J) = 0. \]\( p(x) \) はジョルダン細胞 \( J \) の最小多項式でしょうか？
\( f(x) \in \mathbb{C}[x] \) はモニックで, \( f(J) = 0 \) をみたすとします.
\( f(x) \) を \( p(x) \) で割ります：
\[ f(x) = Q(x) p(x) + R(x), \quad \deg R < \deg p = n. \]余り \( R(x) \) は,
\[ R(x) = c_{n-1} (x-\alpha)^{n-1} + \cdots + c_1 (x-\alpha) + c_0, \quad c_i \in \mathbb{C} \]と書けます.
\[ R(J) = c_{n-1} N^{n-1} + \cdots + c_1 N + c_0 I = 0 \] の \( n \) 列目を見ると, \[ c_{n-1} \mathbf{e}_1 + \cdots + c_1 \mathbf{e}_{n-1} + c_0 \mathbf{e}_{n} = \mathbf{0}. \]なので, \( R(x) = 0 \). したがって,
\[ f(x) = Q(x) p(x) \]です. \( Q(x) \neq 0 \) なので,
\[ \deg f \ge \deg p. \]と分かりました.