前々回扱った行列
\[
\begin{pmatrix}
5 & 8 & 8 & -5 \\
2 & 5 & 1 & -7 \\
1 & 1 & 5 & 4
\end{pmatrix}
\]
の単因子を計算してみます. どのような基本変形を行ったかは見て明らかだと思いますので, その詳しい説明は省略します.
前回述べたように, 「(1, 1) 成分の絶対値が小さくなる」ように変形していくだけです.
\[ \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 & -5 \\ 2 & 5 & 1 & -7 \\ 1 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 1 & -7 \\ 5 & 8 & 8 & -5 \end{pmatrix} \](1, 1) 成分が 1 となりました. 他の成分はもちろん 1 の倍数なので, (1, 1) 成分の絶対値を小さくする作業はここで終わりです.
\[ \cdots \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -9 & -15 \\ 5 & 3 & -17 & -25 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & -15 \\ 0 & 3 & -17 & -25 \end{pmatrix} \]0 を増やしました. 次は, 内側の行列に対して「(1, 1) 成分の絶対値を小さくする」作業を行います. つまり, (2, 2) 成分の絶対値を小さくしていきます.
\begin{align} \cdots &\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & -15 \\ 0 & -3 & 1 & 5 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & -9 & -15 \end{pmatrix} \\[1em] &\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & -9 & 3 & -15 \end{pmatrix} \end{align}(2, 2) 成分が 1 となりましたので, (2, 2) 成分の絶対値を小さくする作業はこれで終わりです.
\[ \cdots \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & -24 & 30 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -24 & 30 \end{pmatrix} \]0 を増やしました. 次は, (3, 3) 成分の絶対値を小さくしていきます.
\[ \cdots \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -24 & 6 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & -24 \end{pmatrix} \]左上が (3, 3) 成分である行列のすべての要素（といっても検証すべきものは -24 しかありませんが）が 6 の倍数になりましたので, (3, 3) 成分の絶対値を小さくする作業はこれで終わりです.
\[ \cdots \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]望む形になりました. 単因子は
\[ (1, 1, 6) \]です.