今回から, 私たちの目標であった仮説 A の考察を始めます. 仮説 A とは, 以下のようなものでした:
(仮説 A) 有理奇素数 \( p \) に対して, \[ x^{2} + y^{2} = p \,\, \text{が有理整数解をもつ} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, p \equiv 1 \!\!\! \pmod{4}. \]
復習
以前, 有理素数の分解について, 以下のような命題を示しました:
有理素数 \( p \) に対して,
\( p \) が複素素数でない \( \, \Longleftrightarrow \, \) ある複素整数 \( \alpha \) に対して \( p = \alpha \, \overline{\alpha} \).
この命題は仮説 A の驚くべき言い換えを可能にします. 今回の考察で重要な役割を果たすことになるので, 改めて思い出しておきます.
無限の世界から有限の世界へ
以下の命題が成り立ちます:
\( p \) を有理奇素数とする. このとき,
「 \( x^{2} + y^{2} = p \, \) が有理整数解をもつ 」
ことと
「 \( x^{2} + y^{2} \equiv 0 \), \( \, x \not\equiv 0 \), \( \, y \not\equiv 0 \pmod{p} \, \) が有理整数解をもつ 」
ことは同値である. 証明 \( (\Rightarrow ) \)
証明 \( (\Leftarrow ) \)
仮説 A'
仮説 A は次のように言い換えられました:
(仮説 A') 有理奇素数 \( p \) に対して, \begin{align} &x^{2} + y^{2} \equiv 0, \,\, x \not\equiv 0, \,\, y \not\equiv 0 \!\!\! \pmod{p} \,\,\, \text{が有理整数解をもつ} \\[0.5em] &\Longleftrightarrow \,\,\, p \equiv 1 \!\!\! \pmod{4}. \end{align}