仮説 Ｂ'' の検証作業が前回までで終わりました. 私たちに残された課題は, 仮説 Ａ の検証です. 今回からは, 仮説 Ａ の検証に取り組みます.
さて, 仮説 Ａ は実際に正しいのですが, この不思議な命題の成り立つ根拠は "有限体" と呼ばれる有限個の数のなす体系の中にあります. 私たちの目標はこの根拠へと辿り着くことですので, 私たちはここから先, "有限体" の世界へと足を踏み入れます.
\( m > 0 \) を有理整数とし, 任意の有理整数 \( k \) に対して, \begin{align} [k] := &\left\{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv k \!\!\! \pmod{m} \right\} \\[0.5em] = &\left\{ \ldots, \,\, k-m, \,\, k, \,\, k+m, \,\, k+2m, \,\, \ldots \right\} \end{align} と定義します（有理整数全体の集合を \( \mathbb{Z} \) で表します）. これらの集合の各々を
と呼びます. 法 \( m \) に関する剰余類全体からなる集合は \[ \mathbb{Z} \, / \, m \mathbb{Z} \] と書かれます.（これは, 環をイデアルで割るという一般的な記法です. ここでは, 有理整数環 \( \mathbb{Z} \) を \( m \) の倍数全体のなすイデアル \( m \mathbb{Z} \) で割っています. 抽象代数学を勉強すれば理解できますが, ここでは気にする必要はないでしょう.）
| \( \vdots \) | \( \vdots \) | \( \vdots \) | \( \) | \( \vdots \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( \cdots \) | \( m - 1 \) |
| \( m \) | \( m + 1 \) | \( m + 2 \) | \( \cdots \) | \( 2m - 1 \) |
| \( 2m \) | \( 2m + 1 \) | \( 2m + 2 \) | \( \cdots \) | \( 3m - 1 \) |
| \( \vdots \) | \( \vdots \) | \( \vdots \) | \( \) | \( \vdots \) |
| \( \uparrow \) | \( \uparrow \) | \( \uparrow \) | \( \) | \( \uparrow \) |
| \( \begin{array}{c} \vdots \\ {\scriptstyle \|} \\ [0] \\ {\scriptstyle \|} \\ [m] \\ {\scriptstyle \|} \\ [2m] \\ {\scriptstyle \|} \\ \vdots \end{array} \) | \( \begin{array}{c} \vdots \\ {\scriptstyle \|} \\ [1] \\ {\scriptstyle \|} \\ [m + 1] \\ {\scriptstyle \|} \\ [2m + 1] \\ {\scriptstyle \|} \\ \vdots \end{array} \) | \( \begin{array}{c} \vdots \\ {\scriptstyle \|} \\ [2] \\ {\scriptstyle \|} \\ [m + 2] \\ {\scriptstyle \|} \\ [2m + 2] \\ {\scriptstyle \|} \\ \vdots \end{array} \) | \( \begin{array}{c} \vdots \\ {\scriptstyle \|} \\ [m - 1] \\ {\scriptstyle \|} \\ [2m - 1] \\ {\scriptstyle \|} \\ [3m - 1] \\ {\scriptstyle \|} \\ \vdots \end{array} \) |
図から分かるように, 法 \( m \) に関する剰余類はちょうど \( m \) 個あります. \[ [0], \,\,\, [1], \,\,\, [2], \,\,\, \ldots, \,\,\, [m - 1] \] の \( m \) 個です. これらはすべて異なっており, どのような \( [k] \) もこれらのいずれかと等しくなります.
これら \( m \) 個の剰余類は自然に加法と乗法を備えており, 有限個の要素からなる数の体系を形成しています. これが冒頭の "有限体" です. 加法と乗法がどのように定義されるかについては, 次回述べたいと思います.
次の事実は後に使うので, 特に命題として取り出しておきます：