１． \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) を複素素数の積へと分解します（上で述べたことにより可能です）：
\( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) を複素素数の積へと分解して, \begin{align} \alpha &= \pi'_1 \, \cdots \, \pi'_s, \\[0.5em] \beta &= \pi''_1 \, \cdots \, \pi''_t, \\[0.5em] \gamma &= \pi'''_1 \, \cdots \, \pi'''_u, \end{align} とします. 右辺に現れた素数の中から, 互いに同伴でないものを選べるだけ選び出し, それらを \( \pi_1 \), \( \ldots \), \( \pi_r \) とします. このとき,
- \( \diamondsuit \quad \)\( \pi_1 \), \( \ldots \), \( \pi_r \) は互いに同伴でない,
- \( \diamondsuit \quad \)右辺の素数は \( \pi_1 \), \( \ldots \), \( \pi_r \) のどれかに同伴,
が成り立ちます. 右辺の素数をすべて
の形に書くことにより, \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) は次のように表されます： \begin{align} \alpha &= \varepsilon \, \pi_1^{a_1} \, \cdots \, \pi_r^{a_r}, \\[0.5em] \beta &= \delta \, \pi_1^{b_1} \, \cdots \, \pi_r^{b_r}, \\[0.5em] \gamma &= \omega \, \pi_1^{c_1} \, \cdots \, \pi_r^{c_r}. \end{align} ここで, \( \varepsilon \), \( \delta \), \( \omega \) は単数で, \( a_h \), \( b_h \), \( c_h \) は 0 以上の整数です.
２． 仮説 Ｂ' を適用します：
等式 \( \pi \, \gamma = \alpha \, \beta \) より, \[ \omega \, \cdot \, \left( \pi^1 \, \pi_1^{c_1} \, \cdots \, \pi_r^{c_r} \right) = \varepsilon \, \delta \, \cdot \, \left( \pi^0 \, \pi_1^{a_1 + b_1} \, \cdots \, \pi_r^{a_r + b_r} \right). \] \( \pi \) が \( \pi_1 \), \( \ldots \), \( \pi_r \) のどれとも同伴でないとすれば, 仮説 Ｂ' により
となりますので, ある \( 1 \le h \le r \) に対して
でなければなりません. このとき, \[ c_h + 1 = a_h + b_h \ge 1 \] より, \[ a_h \ge 1 \quad \text{または} \quad b_h \ge 1. \] したがって, \[ \pi \mid \alpha \quad \text{または} \quad \pi \mid \beta \] が成り立ちます. 以上で仮説 Ｂ'' が導かれました. （証明終）