複素整数と有限体の世界（２０）ー第 II 部基本概念ーすべての複素素数

（仮説 A）奇素数 \( p \) に対して, \[ x^{2} + y^{2} = p \,\, \text{が整数解をもつ} \,\, \Longleftrightarrow \,\, p \equiv 1 \! \pmod{4}. \]

仮説Ａを仮定すると, \[ p \equiv 1 \pmod{4} \] である有理素数 \( p \) は, \[ p = \pi_p \, \overline{\pi_p}, \quad \pi_p \, \text{は複素整数} \] というふうに, ２つの複素整数の積へと分解されます. （このような \( \pi_p \) は複数ありますが, 以下のために, １つを選んで固定しておきます.）

有理素数２も複素整数の積へと分解され, 例えば, \begin{gather} 2 = \left(1 + i \right) \, \left(1 - i \right) = -i \, \left(1 + i \right)^2 \\[0.5em] \bigl(\, \because \,\, 1 - i = -i \, \left(1 + i \right) \, \bigr) \end{gather} のように書くことができます.

これまでに得た複素素数

以前示したように,

\( \,\,\, 1 + i \),
\( \,\,\, \pi_p \), \( \,\, \overline{\pi_p} \quad \left( \, p \equiv 1 \pmod{4} \, \right) \),
\( \,\,\, q \quad \left( \, q \equiv 3 \pmod{4} \, \right) \),

は複素素数です.

すべての複素素数

上記の複素素数に関して,

（Ｘ）これらは互いに同伴でない.
（Ｙ）複素素数はすべて, これらのどれかに同伴である.

が成り立ちます. （Ｘ）は今までの議論で既に示されており, （Ｙ）は仮説Ｂ'' を仮定すれば示されます.

（仮説Ｂ''） \( \alpha \), \( \beta \) を複素整数とし, \( \pi \) を複素素数とする. このとき, \[ \pi \mid \alpha \, \beta \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \pi \mid \alpha \,\,\, \text{または} \,\,\, \pi \mid \beta. \]

（Ｙ）の証明

\( \pi \) を複素素数とし, \( N(\pi) \) を有理整数の範囲で素因数分解したものを \[ N( \pi ) = p_1 \, p_2 \, \cdots \, p_r \] とします. \[ \pi \mid N( \pi ) \] なので, 仮説Ｂ'' により, \[ \pi \mid p_h \quad \left( \, \exists \, h \, \right) \] が成り立ちます.

\( \diamondsuit \quad p_h = 2 \,\, \Longrightarrow \,\, \pi \sim 1 + i \),
\( \diamondsuit \quad p_h \equiv 1 \pmod{4} \,\, \Longrightarrow \,\, \pi \sim \pi_{p_h} \, \) または \( \, \pi \sim \overline{\pi_{p_h}} \),
\( \diamondsuit \quad p_h \equiv 3 \pmod{4} \,\, \Longrightarrow \,\, \pi \sim p_h \),

なので, 主張は示されました. （証明終）