- 前回, 前々回で示したこと：
「仮説 Ｂ は仮説 Ｂ'' から従う.」
- 今回と次回で述べること：
「仮説 Ｃ も仮説 Ｂ'' から従う.」
仮説 Ｃ とは何であったか？
- 方程式： \[ \left(x+i \, y \right) \left(x-i \, y \right) = \left(\pi_1 \, \overline{\pi_1} \right)^{l_1} \cdots \left(\pi_r \, \overline{\pi_r} \right)^{l_r} . \tag{＃} \]
- 整数解： \begin{multline} x + i \, y = \varepsilon \, \left( \pi_1^{a_1} \, \overline{\pi_1}^{\, l_1 - a_1} \right) \cdots \left( \pi_{r}^{a_r} \, \overline{\pi_r}^{\, l_r - a_r} \right), \\[0.5em] \text{\( \varepsilon \) は単数}, \quad 0 \le a_h \le l_h. \qquad \tag{☆} \end{multline}
仮説 Ｂ''
（仮説 Ｂ''） \( \alpha \), \( \beta \) を複素整数とし, \( \pi \) を複素素数とする. このとき, \[ \pi \mid \alpha \, \beta \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \pi \mid \alpha \,\,\, \text{または} \,\,\, \pi \mid \beta. \]
仮説 Ｂ'' の拡張
\( \alpha \), \( \beta \) を複素整数とし, \( \pi_1 \), \( \ldots \), \( \pi_k \) を複素素数とする. このとき, \[ \pi_1 \, \cdots \, \pi_k \mid \alpha \, \beta \] ならば, \[ \left\{ 1, \, \ldots, \, k \right\} = A \cup B, \quad A \cap B = \phi \] をみたす集合 \( A \), \( B \) が存在して, \[ \prod_{h \, \in \, A} \pi_h \Bigm| \alpha \,\,, \qquad \prod_{j \, \in \, B} \pi_j \Bigm| \beta \,\, . \] （空集合 \( \phi \) に対しては, \[ \prod_{h \, \in \, \phi} \pi_h = 1 \] と定義します.）
この命題から, 次のことが従います： \[ \alpha \, \beta = \pi_1 \, \cdots \, \pi_k \] ならば, ある単数 \( \delta \), \( \varepsilon \) が存在して, \[ \alpha = \delta \, \prod_{h \, \in \, A} \pi_h \,\,, \qquad \beta = \varepsilon \, \prod_{j \, \in \, B} \pi_j \,\,. \]
次回, この事実を方程式（＃）に適用します.
仮説 Ｂ'' の拡張の証明