最後の基本概念, ”素数” について述べます.
有理整数において, 素数とは, 乗法に関してこれ以上分解されない数のことでした. 複素整数においても, ”素数” の概念をこれと同様に定めます:
上の条件は,
ということを述べています.
有理整数の世界での素数は, 複素素数と区別して, ”有理素数” と呼ばれます.
複素整数の範囲では, 有理素数はもはや, 素数でないかもしれません. 有理整数の範囲では分解しなくても, より広い複素整数の範囲では, 分解するかもしれないからです.
有理素数が複素素数でもある条件は, 以下の命題により与えられます:
有理素数 \( p \) に対して,
有理素数 \( p \) に対する命題の主張は, 次のように言い換えることもできます:
以前導入した仮説 A:
\[ x^{2} + y^{2} = p \,\, \text{が整数解をもつ} \,\, \Longleftrightarrow \,\, p \equiv 1 \! \pmod{4}. \]
によれば,
- \( \diamondsuit \quad \)\( p = 2 \, \) または \( \, p \equiv 1 \pmod{4} \, \) のとき, \( \, p \) は複素素数でなく,
- \( \diamondsuit \quad \)\( p \equiv 3 \pmod{4} \, \) のとき, \( \, p \) は複素素数,
が成り立つことになります.
以下に, 上記の命題の証明を述べます.
\( \alpha \) が単数であるとすると, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} = N(\alpha) = 1. \] これは矛盾ですので, \( \alpha \) は単数ではありません. \( \overline{\alpha} \) についても同様です. 単数でないものの積に分解していますので, \( p \) は複素素数ではありません. (証明終)
単数でない複素整数 \( \alpha \), \( \beta \) が存在して, \[ p = \alpha \, \beta \] と書けます. 両辺のノルムをとると, \begin{equation} p^{2} = N(\alpha) \, N(\beta). \tag{*} \end{equation} \( N(\alpha) \neq 1 \), \( N(\beta) \neq 1 \) (\( \alpha \), \( \beta \) は単数ではありません)は \( p^{2} \) の約数ですので, \[ \begin{cases} N(\alpha) = p, \,\, p^{2}, & \\[0.5em] N(\beta) = p, \,\, p^{2}. & \end{cases} \] 4 通りの可能性がありますが, (*)をみたす組み合わせは, \[ \left(N(\alpha), \, N(\beta) \right) = \left(p, \, p \right) \] のみです. \( N(\alpha) = p \) を書き換えると, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} \] となります. (証明終)