複素整数と有限体の世界（１２）ー第 II 部基本概念ー素数（１）

最後の基本概念, ”素数” について述べます.

素数の定義

有理整数において, 素数とは, 乗法に関してこれ以上分解されない数のことでした. 複素整数においても, ”素数” の概念をこれと同様に定めます：

$ \pi $ を単数でない複素整数とする. 条件

「 $ \pi = \alpha \beta $ （$ \alpha $, $ \beta $ は複素整数） $ \,\, \Longrightarrow \,\, $ $ \alpha $, $ \beta $ のどちらかは単数」

が成り立つとき, $ \pi $ を ”複素素数” という.

上の条件は,

「 $ \pi $ に本質的な分解は存在しない」

ということを述べています.

有理整数の世界での素数は, 複素素数と区別して, ”有理素数” と呼ばれます.

有理素数の分解（１）

複素整数の範囲では, 有理素数はもはや, 素数でないかもしれません. 有理整数の範囲では分解しなくても, より広い複素整数の範囲では, 分解するかもしれないからです.

有理素数が複素素数でもある条件は, 以下の命題により与えられます：

有理素数 $ p $ に対して,

$ p $ が複素素数でない $ \, \Longleftrightarrow \, $ ある複素整数 $ \alpha $ に対して $ p = \alpha \, \overline{\alpha} $.

有理素数 $ p $ に対する命題の主張は, 次のように言い換えることもできます：

「 $ p $ が複素素数でない $ \, \Longleftrightarrow \, $ 方程式 $ x^{2} + y^{2} = p $ が整数解をもつ. 」

以前導入した仮説Ａ：

（仮説Ａ）奇素数 $p$ に対して,

\[ x^{2} + y^{2} = p \,\, \text{が整数解をもつ} \,\, \Longleftrightarrow \,\, p \equiv 1 \! \pmod{4}. \]

によれば,

$ \diamondsuit \quad $$ p = 2 \, $ または $ \, p \equiv 1 \pmod{4} \, $ のとき, $ \, p $ は複素素数でなく,
$ \diamondsuit \quad $$ p \equiv 3 \pmod{4} \, $ のとき, $ \, p $ は複素素数,

が成り立つことになります.

以下に, 上記の命題の証明を述べます.

証明 ($ \Leftarrow $)

$ \alpha $ が単数であるとすると, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} = N(\alpha) = 1. \] これは矛盾ですので, $ \alpha $ は単数ではありません. $ \overline{\alpha} $ についても同様です. 単数でないものの積に分解していますので, $ p $ は複素素数ではありません. （証明終）

証明 ($ \Rightarrow $)

単数でない複素整数 $ \alpha $, $ \beta $ が存在して, \[ p = \alpha \, \beta \] と書けます. 両辺のノルムをとると, \begin{equation} p^{2} = N(\alpha) \, N(\beta). \tag{＊} \end{equation} $ N(\alpha) \neq 1 $, $ N(\beta) \neq 1 $ （$ \alpha $, $ \beta $ は単数ではありません）は $ p^{2} $ の約数ですので, \[ \begin{cases} N(\alpha) = p, \,\, p^{2}, & \\[0.5em] N(\beta) = p, \,\, p^{2}. & \end{cases} \] ４通りの可能性がありますが, （＊）をみたす組み合わせは, \[ \left(N(\alpha), \, N(\beta) \right) = \left(p, \, p \right) \] のみです. $ N(\alpha) = p $ を書き換えると, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} \] となります. （証明終）