普通の整数 \[ 0, \quad \pm \, 1, \quad \pm \, 2, \quad \ldots \] のことを, 複素整数と区別して, "有理整数" といいます.
約数と倍数
有理整数のときと同じように, 複素整数にも, ”約数” と ”倍数” の概念を定めます：
複素整数 \( \alpha \), \( \beta \) に対して, \[ \alpha \, \gamma = \beta \] となる複素整数 \( \gamma \) が存在するとき, \[ \alpha \mid \beta \] と書く. このとき,
- \( \diamondsuit \quad \alpha \) は \( \beta \) の約数である, あるいは,
- \( \diamondsuit \quad \beta \) は \( \alpha \) の倍数である,
約数と倍数に関して, 次が成り立ちます：
複素整数 \( \alpha \), \( \beta \) に対して, \[ \alpha \mid \beta \, \Longrightarrow \, \overline{\alpha \mathstrut} \, \bigm| \, \overline{\beta}. \] 特に, 有理整数 \( a \) に対して, \[ \alpha \mid a \, \Longrightarrow \, \overline{\alpha} \, \bigm| \, a. \]
容易ですので, 証明は省略したいと思います.