\[
r = m \, n
\]
とする. \( m \) の素因数分解を
\[
m = 2^{a_0} \, p_1^{a_1} \, \cdots \, p_s^{a_s} , \quad a_i \ge 1
\]
とし,
\[
n = 2^{b_0} \, p_1^{b_1} \, \cdots \, p_s^{b_s} \, n' , \quad b_i \ge 0, \,\,\, (m, n') = 1
\]
とする. このとき,
\[
r = 2^{a_0 + b_0} \, p_1^{a_1 + b_1} \, \cdots \, p_s^{a_s + b_s} n'
\]
であるので,
\begin{align}
\varphi(m) &= 2^{a_0 - 1} \, p_1^{a_1 - 1} \, (p_1 - 1) \, \cdots \, p_s^{a_s - 1} \, (p_s - 1), \\[0.5em]
\varphi(r) &= 2^{a_0 + b_0 - 1} \, p_1^{a_1 + b_1 - 1} \, (p_1 - 1) \, \cdots \, p_s^{a_s + b_s - 1} \, (p_s - 1) \, \varphi(n')
\end{align}
である. \( \varphi(r) \le \varphi(m) \) より,
\[
2^{b_0} \, p_1^{b_1} \, \cdots \, p_s^{b_s} \, \varphi(n') \le 1
\]
なので,
\[
b_i = 0 \quad (0 \le i \le s), \quad \varphi(n') = 1.
\]
\( n' \) は奇数なので, \( n' = 1 \) である. これより, \( n = 1 \). したがって, \( r = m \) である. \( \Box \)