複素整数と有限体の世界（７）ー第 I 部導入ー仮説 B と仮説Ｃ（２）

方程式： \[ x^2 + y^2 = n, \quad n = p_1^{\, l_1} \, p_2^{\, l_2} \, \cdots \, p_r^{\, l_r}. \tag{＃} \] ここで, 全ての \( h \) に対して, \[ p_h \equiv 1 \pmod{4}. \]
整数解： \begin{multline} x+i \, y \, = \, \pm \, \left(\pi_1^{a_1} \, \overline{\pi_1}^{\,l_1-a_1} \right) \, \left(\pi_2^{a_2} \, \overline{\pi_2}^{\,l_2-a_2} \right) \, \cdots \, \left(\pi_r^{a_r} \, \overline{\pi_r}^{\,l_r-a_r} \right), \\[0.5em] 0 \le a_h \le l_h. \qquad \tag{☆} \end{multline} ここで, \[ p_h = \pi_h \, \overline{\pi_h}, \quad \pi_h \, \text{は複素整数}. \]

解を増やす

式（☆）の右辺の符号 \( \pm \) を \[ \varepsilon \, \overline{\varepsilon} = 1 \] である複素整数の因子 \( \varepsilon \) に置き換えても, 方程式（＃）の整数解が得られます： \begin{multline} x+i \, y \, = \, \varepsilon \, \left(\pi_1^{a_1} \, \overline{\pi_1}^{\,l_1-a_1} \right) \, \left(\pi_2^{a_2} \, \overline{\pi_2}^{\,l_2-a_2} \right) \, \cdots \, \left(\pi_r^{a_r} \, \overline{\pi_r}^{\,l_r-a_r} \right), \\[0.5em] 0 \le a_h \le l_h. \qquad \tag{☆☆} \end{multline} \( \varepsilon = u + i \, v \) と置くと, \[ \varepsilon \, \overline{\varepsilon} = 1 \,\, \Longleftrightarrow \,\, u^{2} + v^{2} = 1 \,\, \Longleftrightarrow \,\, \bigl(u,\, v \bigr) = \bigl(\pm \, 1, \, 0 \bigr), \, \bigl(0, \, \pm \, 1 \bigr) \] であるので, これをみたす \( \varepsilon \) は \[ \varepsilon \, = \, \pm \, 1, \,\, \pm \, i \] と求まります.

仮説Ｂと仮説Ｃ

（☆☆）で与えられる整数解が全て異なるとすると, その数は \[ 4 \, \left(l_1 + 1 \right) \, \left(l_2 + 1 \right) \, \cdots \, \left(l_r + 1 \right) \] 個となります. これは, 前回の実験で予想した方程式（＃）の整数解の個数と一致します. これを単なる偶然だと考えないならば, その一致を説明するために, 次の仮説を導入することは自然でしょう：

（仮説Ｂ）（☆☆）から得られる整数解はすべて異なる.

（仮説Ｃ）方程式（＃）の整数解はすべて（☆☆）から得られる.

ここでは行いませんが, 計算機を用いて調べてみると, 仮説Ｂ, Ｃの正しいらしいことを確信できます.

今後の目標

これらの仮説の導入で, 複素整数を用いた方程式（＃）の研究は一段落つきました. 仮説Ｂ, Ｃが正しいならば, それは非常に満足のいく結果だと言えるからです.

しかしながら, これらが正しいかどうかはまだ分かりません. これまでに導入した３つの仮説は, 未だ単なる仮説です. 仮説は検証されねばなりません. 私たちは導かれるままに進みましょう. 今後の目標は, 仮説Ａ, Ｂ, Ｃの検証です.

（一般の \( n \) に対する方程式（＃）の解法については述べませんが, 本連載の第 II 部までを理解すれば, それほど難しくなく見付け出せると思います.）

関係ないですが。。。

マウスを乗せると動きます.