\( k \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して,
\[
\omega \mapsto \omega^k
\]
となる \( \mathbb{Q}[\omega] \) の自己同型を \( \sigma_k \) で表す. \( k \), \( l \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して,
\[
\sigma_k \sigma_l (\omega) = \sigma_k(\omega^l) = \sigma_k(\omega)^l = \omega^{kl} = \sigma_{kl}(\omega).
\]
したがって,
\[
\sigma_k \sigma_l = \sigma_{kl}
\]
である. \( \Box \)