\[
R := \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}]
\]
とおく. \( R \) の加法群は有限生成である（定理 2, 系 1 の証明参照）ので, その生成元を
\[
b_1, \quad \ldots, \quad b_m
\]
とおく. 任意の
\[
\beta \in \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}, \alpha]
\]
は, ある
\[
g(x) \in R[x]
\]
に対して,
\[
\beta = g(\alpha)
\]
と書かれる.
\[
f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \in R[x]
\]
とおき, \( g(x) \) を \( f(x) \) で割る： ある \( q(x) \), \( r(x) \in R[x] \) が存在して,
\[
g(x) = q(x) f(x) + r(x), \quad \deg r < \deg f.
\]
このとき, \( f(\alpha) = 0 \) であるから,
\[
\beta = g(\alpha) = r(\alpha)
\]
である. したがって, \( \beta \) は
\[
b_1 \alpha^j, \quad \ldots, \quad b_m \alpha^j \quad (0 \le j \le n-1)
\]
の \( \mathbb{Z} \) 係数の線型結合である. これは \( \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}, \alpha] \) の加法群が有限生成であることを示している. \( \Box \)