- 問い： どのような素数 \( p \) が \[ p = \pi \, \overline{\pi}, \quad \pi \, \text{は複素整数} \] という形に分解できるのか？
- 言い換え： どのような素数 \( p \) に対して, 方程式 \[ x^{2} + y^{2} = p \tag{＃} \] は整数解をもつのか？
実験
最初のいくつかの素数 \( p \) に対して, 方程式（＃）の整数解を調べてみます：
| \( p \) | 整数解 | 解の個数 | |
|---|---|---|---|
| \( 2 \) | \( (\pm 1,\pm 1) \) | \( 4 \) | |
| \( 2 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 3 \) | なし | \( 0 \) |
| \( 5 \) | \( (\pm 1,\pm 2), \, (\pm 2,\pm 1) \) | \( 8 \) | |
| \( 4 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 7 \) | なし | \( 0 \) |
| \( 11 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( 4 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 13 \) | \( (\pm 2, \pm 3), \, (\pm 3, \pm 2) \) | \( 8 \) |
| \( 17 \) | \( (\pm 1, \pm 4), \, (\pm 4, \pm 1) \) | \( 8 \) | |
| \( 4 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 19 \) | なし | \( 0 \) |
| \( 23 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( 2 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 29 \) | \( (\pm 2, \pm 5), \, (\pm 5, \pm 2) \) | \( 8 \) |
| \( 31 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( 4 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 37 \) | \( (\pm 1, \pm 6), \, (\pm 6, \pm 1) \) | \( 8 \) |
| \( 41 \) | \( (\pm 4, \pm 5), \, (\pm 5, \pm 4) \) | \( 8 \) | |
| \( 4 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 43 \) | なし | \( 0 \) |
| \( 47 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( \vdots \) | \( \vdots \) | \( \vdots \) |
| \( p \) | 整数解 | 解の個数 | |
|---|---|---|---|
| \( 2 \) | \( (\pm 1,\pm 1) \) | \( 4 \) | |
| \( 3 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( 2 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 5 \) | \( (\pm 1,\pm 2), \, (\pm 2,\pm 1) \) | \( 8 \) |
| \( 7 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( 2 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 11 \) | なし | \( 0 \) |
| \( 13 \) | \( (\pm 2, \pm 3), \, (\pm 3, \pm 2) \) | \( 8 \) | |
| \( 2 \) \(\,\, \bigl( \bigr. \) | \( 17 \) | \( (\pm 1, \pm 4), \, (\pm 4, \pm 1) \) | \( 8 \) |
| \( 19 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( 6 \) \(\,\, \bigl( \bigr. \) | \( 23 \) | なし | \( 0 \) |
| \( 29 \) | \( (\pm 2, \pm 5), \, (\pm 5, \pm 2) \) | \( 8 \) | |
| \( 6 \) \(\,\, \bigl( \bigr. \) | \( 31 \) | なし | \( 0 \) |
| \( 37 \) | \( (\pm 1, \pm 6), \, (\pm 6, \pm 1) \) | \( 8 \) | |
| \( 2 \) \( \,\, \bigl( \bigr. \) | \( 41 \) | \( (\pm 4, \pm 5), \, (\pm 5, \pm 4) \) | \( 8 \) |
| \( 43 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( 47 \) | なし | \( 0 \) | |
| \( \vdots \) | \( \vdots \) | \( \vdots \) |
上の表から面白いことが観察されます： 奇素数 \( p \) に対して,
- \( \diamondsuit \quad \)\( p \) が ２, ６ 増えるときには, 解の有無が変化し,
- \( \diamondsuit \quad \)\( p \) が ４ 増えるときには, 解の有無が変化しない.
この表の範囲では,
| \( p \) が ２, ６ 増える | \( \quad \Longleftrightarrow \quad \) | \( p \) を ４ で割った余りが変化する, |
| \( p \) が ４ 増える | \( \quad \Longleftrightarrow \quad \) | \( p \) を ４ で割った余りが変化しない, |
が成り立っているので, 上の観察は次のように言い換えられます： 奇素数 \( p \) に対して,
- \( \diamondsuit \quad \)\( p \) を ４ で割った余りが変化すれば, 解の有無も変化し,
- \( \diamondsuit \quad \)\( p \) を ４ で割った余りが変化しなければ, 解の有無も変化しない.
この言い換えが意味することは, 奇素数 \( p \) が増加していくとき,
「 ４ で割った余り 」 と 「 解の有無 」
が同時に切り替わるということです. \( p = 3 \) のときに解が存在しないことに注意すれば, このことから次の結論が得られるでしょう：
- \( \diamondsuit \quad \)\( p \) を ４ で割った余りが １ であれば, 方程式は解をもち,
- \( \diamondsuit \quad \)\( p \) を ４ で割った余りが ３ であれば, 方程式は解をもたない.
この事実がこの表の範囲外でも成り立っているとして（計算機を用いれば実際にずっと先の方まで確認できます）, 私たちは次の仮説を導入します：
（仮説 A） 奇素数 
に対して,
が 
の倍数であるとき, 
と書きます.）
\[ x^{2} + y^{2} = p \,\, \text{が整数解をもつ} \,\, \Longleftrightarrow \,\, p \equiv 1 \! \pmod{4}. \]
（ 整数解の個数
奇素数 \( p \) に対する整数解の個数に関しては,
| 「 整数解があれば, その個数は ８ 」 |
が成り立っているようです.