前回の続きです. 複素整数を利用して, 方程式 \begin{equation} x^{2} + y^{2} = 8633 \, \left(\, = 89 \times 97 \right), \quad 0 \le x \le y \tag{＃} \end{equation} の整数解を求めます.
複素整数 \[ z = a + b \, i \] に対して, \[ \overline{z} := a - b \, i \] をその共役といいます. （記号 「\( := \)」 は 「左辺を右辺で定義する」 という意味です.）
方程式（＃）を解く際には, 共役に関する以下の等式が役立ちます：
簡単に示せますので, 証明が気になる方は計算してみてください.
実際に方程式（＃）を解いてみます.
（ステップ１） 各素因子に対して方程式を解く.
| \( x^2 \) | \( + \) | \( y^2 \) | \( = \) | \( 89, \) | \( \quad 0 \le x \le y \). | |
| \( x = 0 \quad \) | \( 0 \) | \( 89 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 1 \quad \) | \( 1 \) | \( 88 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 2 \quad \) | \( 4 \) | \( 85 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 3 \quad \) | \( 9 \) | \( 80 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 4 \quad \) | \( 16 \) | \( 73 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 5 \quad \) | \( 25 \) | \( 64 \) | \( (\text{〇}) \) | \( \,\, \longrightarrow \,\, (x, \, y) \, = \, (5, \, 8) \) | ||
| \( x = 6 \quad \) | \( 36 \) | \( 53 \) | \( (\times) \) |
| \( x^2 \) | \( + \) | \( y^2 \) | \( = \) | \( 97, \) | \( \quad 0 \le x \le y \). | |
| \( x = 0 \quad \) | \( 0 \) | \( 97 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 1 \quad \) | \( 1 \) | \( 96 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 2 \quad \) | \( 4 \) | \( 93 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 3 \quad \) | \( 9 \) | \( 88 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 4 \quad \) | \( 16 \) | \( 81 \) | \( (\text{〇}) \) | \( \,\, \longrightarrow \,\, (x, \, y) \, = \, (4, \, 9) \) | ||
| \( x = 5 \quad \) | \( 25 \) | \( 72 \) | \( (\times) \) | |||
| \( x = 6 \quad \) | \( 36 \) | \( 61 \) | \( (\times) \) |
（ステップ２） もとの方程式を解く.
（a） １つ目の解: \[ z = \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 + 9 \, i \bigr) = -52 + 77 \, i \] とおき, \( \, z \overline{z} \, \) を ２ 通りに計算すると, \begin{align} \diamondsuit \quad z \overline{z} &= \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 + 9 \, i \bigr) \cdot \overline{\bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 + 9 \, i \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \overline{\bigl(5 + 8 \, i \bigr)} \cdot \bigl(4 + 9 \, i \bigr) \overline{\bigl(4 + 9 \, i \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl(5^{2} + 8^{2} \bigr) \bigl(4^{2} + 9^{2} \bigr) \\[0.5em] &= 89 \cdot 97 = 8633, \\[1em] \diamondsuit \quad z \overline{z} &= 52^{2} + 77^{2}. \end{align} これより, (x, y) = (52, 77) は方程式（＃）の整数解.
（b） ２つ目の解: \[ z = \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 - 9 \, i \bigr) = 92 - 13 \, i \] とおき, \( \, z \overline{z} \, \) を ２ 通りに計算すると, \begin{align} \diamondsuit \quad z \overline{z} &= \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 - 9 \, i \bigr) \cdot \overline{\bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 - 9 \, i \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \overline{\bigl(5 + 8 \, i \bigr)} \cdot \bigl(4 - 9 \, i \bigr) \overline{\bigl(4 - 9 \, i \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl(5^{2} + 8^{2} \bigr) \bigl(4^{2} + 9^{2} \bigr) \\[0.5em] &= 89 \cdot 97 = 8633, \\[1em] \diamondsuit \quad z \overline{z} &= 92^{2} + 13^{2}. \end{align} これより, (x, y) = (13, 92) は方程式（＃）の整数解.
上の計算では, \[ z = z_1 \, z_2, \quad (z_1, \, z_2 ) = \bigl( 5 + 8 \, i, \, 4 + 9 \, i \bigr), \,\, \bigl( 5 + 8 \, i, \, 4 - 9 \, i \bigr) \] から, 方程式（＃）の整数解 \[ \left(x, \, y \right) = \bigl(52, \, 77 \bigr), \,\, \bigl(13, \, 92 \bigr) \tag{☆} \] を導きました. \( (z_1, z_2) \) として, \begin{align} z_1 &= \pm \, 5 \pm 8 \, i, \,\, \pm \, 8 \pm 5 \, i, \\[0.5em] z_2 &= \pm \, 4 \pm 9 \, i, \,\, \pm \, 9 \pm 4 \, i, \end{align} の他の組み合わせを用いることもできますが, （☆）以外の解が得られることはありません.
他に整数解があるのかどうかは気になるところですが, 計算機でしらみつぶしに調べてみると, 方程式（＃）の整数解は （☆）で尽きることが分かります.
整数解が全て求まって, 今の場合, 非常にうまくいったわけですが, これはこの特殊な場合に限られることなのでしょうか？ それとも, 一般的に成り立つことなのでしょうか？
次回から, この疑問を追求してみたいと思います. 状況を一般的にして, 改めて, 方程式 \[ x^2 + y^2 = n, \quad n \ge 1 \,\, \text{は整数} \] の整数解について, 考察していきます.