１． \( 2 \le k \le p-2 \) とする. このとき,
\[ 1 \le k - 1 < k \le p-2 \]
である.
\[ x + \left( y \omega - y \omega^{k - 1} - x \omega^k \right) \equiv 0 \pmod{p} \]
より,
\[ p \mid x \]
であるが, これは矛盾である.
２． \( k = p-1 \) とする. このとき,
\[ x + y \omega - y \omega^{p - 2} - x \omega^{p - 1} \equiv 0 \pmod{p} \]
である. 等式
\[ 1 + \omega + \cdots + \omega^{p-1} = 0 \tag{＃} \]
より
\[ x + y \omega - y \omega^{p-2} + x (1 + \omega + \cdots + \omega^{p-2}) \equiv 0 \pmod{p} \]
であるが, 左辺を書き換えると,
\[ (2x) + \left\{ y \omega - y \omega^{p-2} + x (\omega + \cdots + \omega^{p-2}) \right\} \equiv 0 \pmod{p}. \]
したがって,
\[ p \mid 2x \]
である. これより,
\[ p \mid x \]
となるが, これは矛盾である.
３．\( k = p \) とする. このとき,
\[ x + y \omega \equiv y \omega^{p-1} + x \pmod{p} \]
であるが, 等式（＃）より,
\[ y \omega + y(1 + \omega + \cdots + \omega^{p-2}) \equiv 0 \pmod{p}. \]
左辺を整理すると,
\[ y + \left\{ y \omega + y (\omega + \cdots + \omega^{p-2}) \right\} \equiv 0 \pmod{p}. \]
したがって,
\[ p \mid y \]
であるが, これは矛盾である.
以上より,
\[ k \equiv 2, \, 3, \, \ldots, \, p \pmod{p} \]
ではないので,
\[ k \equiv 1 \pmod{p} \]
である. \( \Box \)