\[ \alpha = a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2} \quad (a_i \in \mathbb{Z}) \]
とする. 練習 24 より,
\begin{align} \alpha^p &= (a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2})^p \\ & \equiv a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (a_{p-2} \omega^{p-2})^p \pmod{p}. \end{align}
\( \omega^p =1 \) であるから,
\[ a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (a_{p-2} \omega^{p-2})^p = a_0^p + a_1^p + \cdots + a_{p-2}^p \in \mathbb{Z} \]
である. これで, 示された. \( \Box \)