(1) \[ (\beta + \gamma)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} \beta^i \gamma^{p-i} \equiv \beta^p + \gamma^p \pmod{p}. \quad \Box \]
(2) \[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p = \beta_1^p + \cdots + \beta_r^p \pmod{p} \]
を \( r \) に関する帰納法で示す. \( r = 2 \) の場合は既に示した. \( r > 2 \) とする. \( r = 2 \) のときの結果を使うと,
\[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p \equiv (\beta_1 + \cdots + \beta_{r-1})^p + \beta_r^p \pmod{p}. \]
帰納法の仮定より,
\[ (\beta_1 + \cdots + \beta_{r-1})^p \equiv \beta_1^p + \cdots + \beta_{r-1}^p \pmod{p} \]
であるから,
\[ (\beta_1 + \cdots + \beta_{r})^p \equiv \beta_1^p + \cdots + \beta_{r-1}^p + \beta_r^p \pmod{p} \]
である. \( \Box \)