(a) \[ x^{2} = m^{2} - n^{2} \]
より,
\[ x^{2} + n^{2} = m^{2}. \]
\( m \) と \( n \) は互いに素であるから, \( (x,n,m) \) は原始的なピタゴラスの三つ組である. また, \( x \), \( n \), \( m \) は正であり, \( x \) は奇数である. したがって, どちらか一方は偶数である互いに素な正の \( r \) と \( s \) が存在して,
\[ x = r^{2} - s^{2}, \quad n = 2rs, \quad m = r^{2} + s^{2}. \quad \Box \]
(b) \[ m = r^{2} + s^{2} \]
より, \( r \) と \( m \) が共通因子をもてば, それは \( s \) にも共通である. これは \( r \) と \(s \) が互いに素であることに反するので, \( r \) と \( m \) は互いに素である. 同様に, \( s \) と \( m \) も互いに素である. \( r \), \( s \), \( m \) のどの２つも互いに素であり,
\[ y^{2} = 4rsm \]
であるから, ある正の \( a \), \( b \), \( c \) に対して,
\[ r = a^{2}, \quad s = b^{2}, \quad m = c^{2} \]
である. \( \Box \)
(c) \[ m = r^{2} + s^{2} \]
より
\[ c^{2} = a^{4} + b^{4} \]
である.
\[ c \le m < w \quad (\because \, w = m^{2} + n^{2}, \, n > 0) \]
であるから, これは \( w \) の最小性に矛盾する. \( \Box \)