(1) \[ 1 - \omega = \alpha \beta \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\omega]) \]
とする. 両辺のノルムをとると,
\[ 3 = N(\alpha) N(\beta). \]
これより,
\[ N(\alpha) = 1 \quad \text{または} \quad N(\beta) = 1 \]
であるが, これは
\[ \text{\( \alpha \) が単数} \quad \text{または} \quad \text{\( \beta \) が単数} \]
を意味するので, \( 1 - \omega \) は単数である. \( \Box \)
(2)
\[ \overline{1 - \omega} = 1 - \omega^{2} = (1 + \omega) (1 - \omega) \]
であるから,
\[ 3 = N(1 - \omega) = (1 - \omega) \overline{(1 - \omega)} = (1 + \omega) (1 - \omega)^{2}. \]
より, \(1 + \omega \) は単数である. \( \Box \)